Frage von emily2244, 53

Die Ableitung kann nicht die genaue Steigung an diesem Punkt abgeben oder?

Das ist nur ein Wert , dem sich die Funktion annähert?

Expertenantwort
von Willy1729, Community-Experte für Mathe, 27

Hallo,

das ist schon die genaue Steigung, nämlich die Steigung der Tangente an diesem Punkt. 

Herzliche Grüße,

Willy

Kommentar von emily2244 ,

Aber man sagt ja die Ableitung. Ist der Grenzwert und ein Grenzwert wird von der Funktion nur annähernd erfüllt?

Kommentar von Willy1729 ,

Nein. Mit Hilfe einer Grenzwertberechnung wird die Ableitung ermittelt. Du kannst an eine Stelle an einem Funktionsgraphen, so er denn dort differenzierbar ist, also keine Polstelle oder einen Knick oder so etwas aufweist, eine Tangente anlegen. Eine Tangente ist eine Gerade mit einer exakt bestimmbaren Steigung. Sie ist identisch mit der Steigung der Funktion an dieser Stelle.

Kommentar von emily2244 ,

Aber warum geht das mit der grenzwertberechnung?

Kommentar von Willy1729 ,

Weil man bei der Berechnung des Differenzenquotienten 

[f(x+h)-f(x)]/h durch geschicktes Umformen erreichen kann, daß h aus dem Nenner verschwindet und dann sogar mit Null gleichgesetzt werden kann.

Beispiel: f(x)=x²

f(x+h)=(x+h)²

[(x+h)²-x²]/h=(x²+2hx+h²-x²)/h=(2hx+h²)/h=[h*(2x+h)]/h=2x+h

Da h gekürzt werden konnte, hast Du nur noch 2x+h. Jetzt darf h nicht nur gegen Null gehen, sondern sogar gleich Null gesetzt werden und als Differentialquotient, der der Ableitungsfunktion entspricht, bleibt 2x übrig. h ist verschwunden, Du kannst für x beliebige Werte einsetzen und bekommst exakte Ergebnisse.

Kommentar von emily2244 ,

Aber der differenzialquotient ist der Grenzwert des differenzenquotienten oder ?

Kommentar von Willy1729 ,

Ja, ist er. Aber 2 ist auch der Grenzwert von 2+h für h gegen Null und trotzdem eine exakte Zahl.

Kommentar von emily2244 ,

Aber hä? Warum sagst du dann dass die Ableitung kein Grenzwert ist sondern diese nur mit der grenzwertberechnung berechnet werden kann?

Kommentar von Galdur ,

Die Ableitung ist der Grenzwert einer Annäherungsbetrachtung. Das ist schon richtig.

Aber wie bereits Willy gesagt hat, durch geschicktes Umformen kann man die Laufvariable eliminieren, was mathematisch absolut legitim ist. Auf einmal wird aus einer Annäherung ein exakter Wert.

Klingt vielleicht magisch, aber wenn du das Beispiel  f(x)=x² von Willy mal genau untersuchst, wirst du feststellen, dass dies doch gar nicht so magisch ist.

Antwort
von bauerntochter13, 29

Die Ableitungsfunktion einer Funktion ist die Gesamtheit aller Anstiege einer Funktion an einem Punkt.

Wenn und also die Ableitungsfunktion hast und setzt einen bestimmten wert ein erhälst du den Anstieg an diesem Punkt

Kommentar von emily2244 ,

Aber man sagt ja die Ableitung. Ist der Grenzwert und ein Grenzwert wird von der Funktion nur annähernd erfüllt?

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