Frage von emily2244, 45

Die Ableitung ist doch ein Grenzwert?

Deshalb gibt es nur die ungenaue Steigung in einem Punkt oder ? :(

Expertenantwort
von fjf100, Community-Experte für Mathe, 14

"Differenzenquotient" (de)y/(de)x=(y2-y1)/(x2-x1)=((f(x2)-f(x1)) /(x2-x1)

(de) griechischer Buchstabe "Delta"

Die ist die "Sekantensteigung" (geht durch 2 Punkte)

P1(x1/y1) und P2(x2/y2)

geht das Intervall (x2-x1) gegen Null,so erhält man den "Differentialquotienten" y´=f´(x)=dy/dx

Die "Sekantensteigung" geht hier über in die "Tangentensteigung"

die 1.te Ableitung f´(x) ergibt die Tangentensteigung an jeder beliebigen Stelle x an der Funktion f(x).

Beispiel : f(x)= 3 *x^2 abgeleitet f´(x)= 6 * x

Tangentensteigung an der Stelle x=3 ergibt f´(3)=6 *3=18

bedeutet m=18 also auf der x-Achse 1 Einheit nach rechts

und auf der y-Achse 18 Einheiten nach oben

Antwort
von Adamantan, 20

Der Differenzenquotient ist eine Näherung, ja. ABER der Grenzwert des Differenzenquotienten, also der Differentialquotient, ist eben die GENAUE Steigung an dieser Stelle. Wenn Du h (ihr habt die h-Methode gemacht?) gegen 0 gehen lässt, kannst Du ja auch (unmathematisch formuliert) fragen: Was wäre, wenn h 0 wäre? Das ist der Grenzwert und wenn h 0 ist, hast Du die exakte Steigung ermittelt.

Alles klar?

Kommentar von emily2244 ,

Ok aber ein Grenzwert wird von der Funktion niemals genau erreicht?

Kommentar von Adamantan ,

Sag niemals nie.

In der Regel wird der Grenzwert aber in der Tat nicht erreicht. KÖNNTEN wir den Grenzwert direkt ermitteln, täten wir dies ja.

Antwort
von triopasi, 39

Warum gibt es nur "ungenaue Steigung an einem Punkt"? Das stimmt nicht.

zB die Gleichtung f(x) = 2x hat überall die Steigung 2 (f'(x) = 2). Das ist exakt, kein Grenzwert oder sonstwas.

Kommentar von emily2244 ,

Aber warum sagt man dann dass die Ableitung ein Grenzwert ist?

Kommentar von triopasi ,

Für komplexe Funktionen ist die Steigung an einer Stelle über den Grenzwert definiert, das ist so. Für einfache Funktionen (wie oben) oder für das Ableiten in der Schule kann dir das aber total egal sein.

Kommentar von emily2244 ,

Meinst du mit komplexen Funktion ganztationale Funktionen?

Kommentar von triopasi ,

Es kann zB eine sein, ja..

Kommentar von emily2244 ,

Ja also kann man die Steigung eines Punktes auf einer Kurve nicht ganz bestimmen nur sehr annäherungsweise oder ?

Kommentar von triopasi ,

In einer Kurve meinst du. Da kann man wieder philosophieren ;) Du sagst es geht "nur sehr annäherungsweise". Wenn beim lim aber x gegen einen Wert geht, so geht auch der lim selbst gegen einen Wert. Wenn man unendlich nah an den Wert ran geht, ist das Ergebnis auch nur noch "unendlich wenig ungenau", also praktisch wieder exakt.. Aber ich sag ja: Das ist n Thema zum philosophieren.

Kommentar von emily2244 ,

Ja aber was ist denn richtig?

Kommentar von triopasi ,

Ich sag' ja: das ist Philosophie ;) Und meine Meinung: in den meisten Fällen (bzw in der Schule eig. in fast allen), wird man ein exaktes Ergebnis bekommen - oder zumindest eines was viel exakter ist als man das je brauchen wird.

Kommentar von Zwieferl ,

Doch, das ist ein Grenzwert!

Die Folge aₙ=<2,2,2,2,....> hat den Grenzwert 2.

Keine passende Antwort gefunden?

Fragen Sie die Community