Frage von MarkMoser123, 8

Diagonalisierung: Wie kann ich hier sehen, dass das charakteristische Polynom in Linearfaktoren zerfällt?

Hallo, ich habe folgendes Problem: und zwar verstehe ich wie man eine Matrix diagonalisiert, welche Vorteile das hat und welche Voraussetzungen gegeben sein müssen.

Aber ich verstehe bei den folgenden Bsp nicht, warum das ch. Polynom nicht zerfällt.

Berechnung des charakteristischen Polynoms =(1−λ)⋅(−1−λ)⋅(1−λ)−(1−λ)⋅√3⋅(√-3) =(1−λ)[(−1−λ)⋅(1−λ)−√3⋅(√-3)] =(1−λ)[−1+λ−λ+λ^2+3] =(1−λ)⋅(λ^2+2) Da (λ^2+2) keine reelle Nullstelle besitzt, lässt sich das charakteristische Polynom nicht vollständig in Linearfaktoren zerlegen. Die Matrix ist folglich nicht diagonalisierbar.

Hier mal die Webseite, das 1. Bsp ist es: http://www.mathebibel.de/matrix-diagonalisieren

Ich hab doch erst mal dastehen (1-λ) und das drei mal. Das wären doch alles Linearfaktoren, die ich dann ausmultipilzieren würde, um auf meine Eigenwerte zu kommen. Müsste da nicht auch ein Rechenfehler drin sein? Mir scheint die haben -(1-λ)⋅√3⋅(√-3) nicht richtig ausgerechnet bzw vergessen mit Lambda malzunehmen, wobei man für Wurzel aus minus drei ja sowieso schon keine reele Lösung findet.

Könnte mir das mal bitte jemand erklären, wie ich da vorgehen muss bzw auf welche Form ich das Ganze bringen muss, damit ich sehe, ob das ch. Polynom in Linearfaktoren zerfällt?!

Antwort
von kreisfoermig, 1

Alle Polynomen über ℂ zerfallen in ℂ in Linearfaktoren, da ℂ algebraisch vollständig ist. Über ℚ und ℝ hingegen leider nicht. Deshalb muss man oft damit rechnen, dass ein Polynom komplexe Nullstellen hat:

Insbesondere gilt

χ_A(λ) = det(λ·I–A)
(ich rechne gemäß einer anderen Konvention)
= (λ–1)⋅((λ–1)(λ+1)+√3²)
= (λ–1)⋅(λ²–1+3)
= (λ−1)⋅(λ² + 2)
= (λ–1)⋅(λ – ι√2)⋅(λ + ι√2)

Das eine reellwertige Matrix komplexe Spektralwerte hat, ist ganz normal.

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