Frage von jh12293, 59

Determinante?

Für was genau braucht man eine Determinante hab bald abschlussprüfung und hab keine Ahnung was das ist

Expertenantwort
von Willy1729, Community-Experte für Mathe, 22

Hallo,

Determinanten ordnen Matrizen einen Skalar, also eine Zahl zu. Um die Determinante einer 2x2- und einer 3x3-Matrix zu bestimmen, ziehst Du die Summe der Produkte der Werte auf der oder den Nebendiagonalen von der Summe der Produkte der Werte auf der oder den Hauptdiagonalen ab.

Hast Du z.B. die Matrix 

1 2 -4
3 0   2
2 -2  1

erweiterst Du sie um die beiden ersten Spalten:

1 2 -4  1  2
3 0   2 3  0
2 -2 1  2 -2

und rechnest:

1*0*1+2*2*2+(-4*3*(-2)-(2*3*1+1*2*(-2)+(-4)*0*2)=

0+8+24-(6-4+0)=32-2=30 Das ist die Determinante.

Die drei Hauptdiagonalen laufen dabei schräg von oben links nach unten rechts, während die drei Nebendiagonalen schräg von oben rechts nach unten links laufen.

Wenn die drei Spalten dieser Matrix drei Vektoren wären, wüßtest Du, daß diese drei Vektoren linear unabhängig sind, also nicht alle drei in einer Ebene liegen, weil die Determinante sonst 0 wäre. Das ist schon mal ungemein praktisch, weil es Dir die Mühe erspart, ein lineares Gleichungssystem lösen zu müssen.

Du kannst auf diese Weise auch ein Gleichungssystem mit drei Unbekannten ohne Gauß-Verfahren o.ä. lösen.

Beispiel:

x+y-z=1
2x-3y+z=0
x        -z=2

Du formst das Gleichungssystem in zwei Matrizen um, eine 3x3-Matrix und eine 3x1-Matrix:

1 1 -1
2 -3 1
1  0 -1

Dazu kommt die Ergebnismatrix (ein Vektor): 1/0/2

Nun bestimmst Du zunächst die Determinante der Matrix durch das Diagonalverfahren (Sarrus'sche Regel):

1*(-3)*(-1)+(1*1*1)+(-1)*2*0-((-1)*(-3)*1+1*2*(-1)+1*1*0)=4-1=3

Nun ermittelst Du die Determinante der Matrix, die entsteht, wenn Du die erste Spalte durch den Ergebnisvektor ersetzt:

1 1 -1
0 -3 1
2 0 -1

Det(x)=3+2+0-(6+0+0)=-1

Um Det(y) zu bestimmen, tauschst Du die zweite Spalte der Matrix gegen den Ergebnisvektor aus:

1 1 -1
2 0  1
1 2 -1

Det(y)=0+1-4-(0-2+2)=-3

Det(z) erhältst Du entsprechend durch Austausch der dritten Spalte:

1  1 1
2 -3 0
1  0 2

Det(z)=-6+0+0-(-3+4+0)=-7

Um nun x, y und z zu bestimmen rechnest Du:

x=Det(x)/DetA=-1/3

y=Det(y)/DetA=-3/3=-1

z=Det(z)/DetA=1/(-7)=-1/7

Ähnlich kannst Du auch eine Schnittgerade zwischen zwei Ebenen berechnen.

Herzliche Grüße,

Willy

Kommentar von Willy1729 ,

Darüberhinaus besitzt die Determinante einer 2x2-Matrix noch eine überaus nützliche Eigenschaft. Sie entspricht der Fläche des Parallelogramms, das durch die beiden Vektoren, die diese Matrix bilden, aufgespannt wird. Die Determinante einer 2x2-Matrix
a1 b1
a2 b2 
berechnet sich aus a1*b2-a2*b1.

Bekommst Du ein positives Ergebnis sind die Vektoren (a1/a2) und (b1/b2) gegen den Uhrzeigersinn angeordnet; bekommst Du ein negatives Ergebnis, sind sie im Uhrzeigersinn angeordnet.

Wenn die beiden Vektoren zwei Seiten eines Dreiecks sind, während die dritte Seite die Verbindung der Spitzen der Vektoren darstellt, dann entspricht die Determinante der Matrix der beiden Vektoren der doppelten Dreiecksfläche, die Fläche des Dreiecks, das durch die Vektoren gemäß SWS aufgespannt wird, entspricht also der halben Determinante.

So kannst Du auch die Flächen von unregelmäßig geformten Vielecken berechnen, wenn Du ihre Ecken jeweils durch einen Vektor mit dem Ursprung verbindest, entsprechende Dreiecke bildest und durch Kombination positiv und negativ orientierter Flächen die Fläche des Vielecks berechnest.

Willy

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