Frage von changes12345, 37

Der Graph einer linearen Funktion verläuft durch P und Q. Wie findet man raus ob R zum Graphen gehört?

Ich habe dabei so meine Probleme und ein Held mit Brüchen, bin ich auch nicht. Deswegen hier eine Beispiel Aufgabe und wenn es geht mit erklären wie das mit Brüchen gerechnet wird wär echt nett :). P(3|1/2) Q(-3 1/2|-2 3/4) R(-1|-1/2)

Expertenantwort
von Volens, Community-Experte für Mathe, 6

Es gibt mehrere Darstellungen für Geraden, hier arbeitet man am besten mit der Zweipunkteform. Es empfiehlt sich, die Bruchzahlen sogleich in Dezimalzahlen zu überführen.

P (x1 = 3 | y1 = 0,5)      Q (x2 = -3,5 | y2 = -2,75)       R (x3 = -1 | y3 = -0,5)

Jetzt gilt
(y - y1) / (x - x1) = (y2 - y1) / (x2 - x1)

(y - 0,5) / (x - 3) = (-2,75 - 0,5) / (-3,5 - 3)
(y - 0,5) / (x - 3) = (-3,25) / (-6,5)
(y - 0,5) / (x - 3) = 0,5
y - 0,5               =  0,5 * (x - 3)
                  y     =  0,5x - 1,5 + 0,5
                  y     =  0,5x - 1

Das ist die Geradengleichung.
In die musst du nur noch x3 und y3 einsetzen. Wenn etwas Richtiges herauskommt, liegt R auf derselben Geraden.

Für dich möglicherweise von Nutzen:

http://dieter-online.de.tl/Br.ue.che-1.htm

Expertenantwort
von PWolff, Community-Experte für Mathe, 5

Wenn es nur die Brüche in den Koordinaten sind, die dir Schwierigkeiten machen, kannst du "umskalieren", d. h. im Endeffekt, alle Koordinaten mit demselben Faktor multiplizieren - hier dem Hauptnenner.

(Streng genommen kannst du das auch für jede Dimension einzeln tun.)

Ansonsten kannst du folgendes ausrechnen (P1 ist die1. Koordinate von P etc.) - erfordert aber sorgfältigen Umgang mit Doppelbrüchen:

(R1 - P1)           (R2 - P2)
--------- und ---------
(Q1 - P1) (Q2 - P2)

Die 3 Punkte liegen genau dann auf einer Geraden, wenn beide Male dasselbe herauskommt.

Wenn irgendwo 0 im Nenner steht, musst du P und Q geeignet umsortieren.

Wenn irgendwo eine 0 unvermeidbar ist, haben P, Q und R diese Koodinate gemeinsam und sie kann unberücksichtigt bleiben. (In 2 Dimensionen heißt das dann schon, dass P, Q und R auf einer Geraden liegen.)

Antwort
von hannisunny123, 7

Die Gerade geht also durch P und Q, d.h. anhand der gegebenen Y- und X-Werte kannst du zunächst die Funktionsgleichung bestimmen. Als erstes berechnest du die Steigung für die gilt: m= (y2-y1)/(x2-x1) ,also:

m= (-2 3/4 - 1/2)/(-3 1/2 - 3) 

m= (-11/4 - 2/4)/(-7/2 - 6/2)

m=(-13/4)/(-13/2) = (-13/4)/(-26/4) = (-13/4)*(-4/26) = 52/104 = 0.5

(Das ist jetzt mal sehr ausführlich vereinfacht)

Um n (den Y-Achsenabschnitt) zu bestimmen nimmst du einen der Punkte, setzt ihn in Gleichung ein und löst nach n auf, also:

f(x)= m*x+n     ->       f(x)= 0.5x+n

Setze P ein: 

1/2= 0.5*3+n   ->       0.5= 1.5+n | - 1.5

-1= n

Jetzt hast du die Funktionsgleichung bestimmt welche lautet: f(x)=0.5x-1

Wenn du wissen willst ob der Punkt R auf dem Graphen liegst setzt du dessen X-Wert in die Gleichung ein und guckst ob der zugehörige Y-Wert auch wirklich rauskommt.

f(-1/2) = 0.5*(-1/2)-1 = -1.25

Es kommt für f(-1/2) nicht -1 raus, das heißt der Punkt liegt nicht auf der Gerade.

Ich hoffe ich konnte dir ein wenig helfen, und mit den Brüchen musst du einfach gucken wie lange du zum Vereinfachen brauchst oder wann du es leichter findest mit Dezimalzahlen zu rechnen:)

Antwort
von Noctisrules, 19

Du formst die Funktion der Geraden durch P/Q und setzt den Punkt R in die Funktion ein. Geht die Funktion auf liegt der Punkt auf der Geraden. Ist sie falsch, liegt der Punkt außerhalb.

Kommentar von changes12345 ,

Ja das ist mir bewusst aber ich mein mit Brüchen ist das irgendwie schwerer. Trotzdem danke

Kommentar von Noctisrules ,

Ich rechne auch nicht gern mit Brüchen aber 1/2 =0,5 und 3/4 = 0,75...dann geht es doch.

Antwort
von authumbla, 15

musst eben die Koordinaten -1 für x und -1/2 für y in die Gleichung einsetzen.

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