Frage von TunfischBlume, 30

Definition Menge (Mathematik)?

Ich bräuchte die genaue definition von Menge im mathematischem sinne.. bitte nur ernstgemeinte antworten😄 danke im voraus

Expertenantwort
von PWolff, Community-Experte für Mathematik, 17

Eine mathematisch einwandfreie explizite Definition geht über den Schulstoff hinaus:

Eine Klasse, die Element einer Klasse ist, heißt Menge.

(hier wird paradoxerweise - aber nicht widersprüchlicherweise! - die Menge selbst als Element genommen.)

Aber auch hier werden Klassen implizit durch ein Axiomensystem definiert.

Ebenso würde ich auch in der Schule vorgehen:

Wir haben Objekte, die wir "Mengen" nennen, und ggf. Objekte, die wir "Urelemente" nennen. Für diese gelten folgende Axiome: ...

Kommentar von simsilol ,

hallo bitte wenns ginge meine frage auch beantworten danke;)

Kommentar von PWolff ,

Wir haben ja die bekannte Definition als "Zusammenfassung von bestimmten, wohlunterschiedenen Objekten unserer Anschauung oder unseres Denkens zu einem Ganzen" (ähnlich der Zusammenfassung von Personen zu einem Verein - der Verein ist von jedem seiner Mitglieder unterscheidbar).

Hinzunehmen muss man, dass eine Menge durch ihre Elemente eindeutig bestimmt ist.

Doch kann diese Definition nur mit großer Vorsicht angewandt werden.

Z. B. führt die "Menge aller Mengen" zu einem Widerspruch. Sie hat ja als Teilmenge die Menge aller Mengen, die sich selbst nicht enthalten. Enthält die Menge aller Mengen, die sich selbst nicht enthalten, sich selbst oder nicht? Beide Annahmen führen zu einem Widerpruch.

Vermeiden kann man solche Widersprüche z. B. mit Typen (oder Stufen) von Mengen.

Als "Mengen vom Typ 0" bzw. "der Stufe 0" bezeichnet man "Urelemente", also Objekte, die ihrerseits keine Elemente enthalten können.

Als "Mengen vom Typ 1" / "der Stufe 1" bezeichnet man Mengen, die Urelemente enthalten können.

Als "Mengen vom Typ n" / "der Stufe n" bezeichnet man Mengen, die Mengen vom Typ (n-1) / der Stufe (n-1) enthalten können. (n ist eine natürliche Zahl außer 0)

Nachteile:

- es lassen sich keine Mengen bilden, die Elemente verschiedenen Typs enthalten

- für jeden Typ ist eine eigene leere Menge notwendig, um Mengendifferenzen bilden zu können

Um diese Nachteile zu vermeiden, kann man die "kumulierte Typentheorie" verwenden - wir erweitern den Mengenbegriff dahingehend, dass eine Menge vom Typ n beliebige Mengen eines echt niedrigeren Typs enthalten kann - also vom Urelement bis zum Typ (n-1). (Falls n>0; Urelemente können nach wie vor keine Elemente enthalten.)

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Wie schon erwähnt, werden Mengen implizit definiert, d. h. dadurch, dass sie bestimmten Axiomen genügen.

Für weitreichendere Axiomensysteme siehe z. B.

https://de.wikipedia.org/wiki/Axiomatische_Mengenlehre

https://de.wikipedia.org/wiki/Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre

Kommentar von girlyglitzer ,

Hallo!

Normalerweise wird die Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre ohne Urelemente als Standard hergenommen.

LG girlyglitzer

Kommentar von PWolff ,

Stimmt, soweit möglich, betrachtet man alle als Mengen. Sogar die Zahlen.

Antwort
von Melvissimo, 24

Cantor (leicht abgewandelt): "Eine Menge ist eine Zusammenfassung von wohldefinierten und wohlunterschiedenen Objekten unserer Anschauung oder unseres Denkens zu einem Ganzen. Diese Objekte werden Elemente genannt."

Mit dieser vagen Definition arbeiten Mathematiker in der Regel, da sie für viele Zwecke absolut hinreichend ist. Aber sie ist leider nicht widerspruchsfrei (siehe etwa die Russelsche Antinomie), weswegen unterschiedliche, hoffentlich widerspruchsfreie axiomatische Definitionen einer Menge entwickelt wurden.

Das gebräuchlichste Axiomensystem ist wohl ZFC, das du hier nachlesen kannst: https://de.wikipedia.org/wiki/Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre

Antwort
von DocShamac, 29

Aus dem Taschenbuch der Mathematik (Bronstein):

"Eine Menge A ist eine Zusammenfassung bestimmter, wohunterschiedener Objekte a unserer Anschauung oder unseres Denkens zu einem Ganzen."

Weitere Infos siehe auch hier, die bauen auf derselben Definition auf:

http://home.uni-leipzig.de/doelling/veranstaltungen/Satzsemantik\_02\_MengenFunk...

Antwort
von DadgeneHD, 24

Ich glaube mit Definitionsmengen sind Ganze Reele Rationale und Natürliche Zahlen gemeint . Bin mir aber nicht sicher. 

Kommentar von girlyglitzer ,

Es geht hier um Definition von Mengen, und nicht um Definitionsmengen.

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