Frage von Mukleur, 48

d/dx Sin(x) / (1-x)?

Guten Abend,

Ich versuche die Funktion sin (x)/ (1-x) 3 mal abzuleiten, jedoch habe ich Probleme damit. Erste Ableitung ist klar, aber bei der 2 Ableitung bin ich mir nicht mehr sicher. Ich habe es in einem ableitungsrechner ableiten lassen, jedoch wird da alles vereinfacht und umgeschrieben, so dass ich es nicht mehr ganz verstehe. Deswegen ist dort die 2 Ableitung anders. Ich wollte wissen, ob meine 2 Ableitung richtig ist? Falls nicht, wäre ich dankbar, wenn mir jemand Tipps geben würde, was ich alles vereinfachen, bzw. wie ich es umschreiben kann

Mit freundlichen Grüßen

Expertenantwort
von Willibergi, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 16

Die erste Ableitung:

          sin(x)
f(x) = ———
           1 - x

              sin(x)
f'(x) = (————)'
               1 - x

Quotientenregel:

           sin(x)' * (1 - x) - sin(x) * (1 - x)'
f'(x) = ——————————————
                            (1 - x)²

            cos(x) * (1 - x) - sin(x) * (-1)
f'(x) = —————————————
                        (1 - x)²

             cos(x) - x*cos(x) + sin(x)
f'(x) = ————————————
                        (1 - x)²

Die zweite Ableitung funktioniert analog dazu.

Ich habe sie aus Übersichtlichkeitsgründen als Latex-Bild angefügt. ;)

Ich hoffe inständig, dass ich mich nirgends vertippt habe. ^^

Im zweiten Bild habe ich am Ende noch etwas mehr vereinfacht, das ist aber optional. :)

Ich hoffe, ich konnte dir helfen; wenn du noch Fragen hast, kommentiere einfach. 

LG Willibergi

Kommentar von Mukleur ,

ich danke dir vielmals für deine mühe

ich habe jetzt auch die 2 ableitung hinbekommen und verstanden, vielen dank

Kommentar von Willibergi ,

Gern geschehen! ;)

LG Willibergi

Antwort
von Flachsenker, 20

hmmich würde hier den Bruch umschreiben :) und dann die Produktregel (inkl. Kettenregel) anwenden :)

das gleiche dann für die 2. ableitung..schön schrittweise^^


Kommentar von Flachsenker ,

obwohl,für die 2. kann man auch easy gleich die Quot. Regel anwenden..hast halt ein langer Term...

Antwort
von gilgamesch4711, 6

  Ich musste auch erst bissele tüfteln; aber claro. Das Zauberwort heißt ===> Leibnizregel ( LR ) ; siehe Courant Band 2 .

 f ( x ) := sin ( x ) / z     ( 1a )

    wobei der größeren Übersichtlichkeit wegen gesetzt wurde

     z := x - 1   ( 1b )

   Jetzt erst mal Produktregel anwenden auf ( 1a )  ( Das klappt alles deshalb so toll, weil die Kettenregel in ( 1b ) trivial ist. )

  f ' ( x ) = ( 1/z ) cos ( x )  -   (  2a  )

   - ( 1/z ² ) sin ( x )    (  2b  )

    Die LR ist die direkte Verallgemeinerung der Produktregel für n-te Ableitung; mit ihrer Hilfe könntest du die 4 711. Ableitung von ( 1a ) ohne Nebenrechnung und Zwischenschritte hin schreiben so, wie dir das in deiner Frage vor schwebt.

   Effektiv ist die LR aufgebaut wie der binomische Lehrsatz mit seinen ===> Binominalkoeffizienten. 2. Ableitung

   ( u v ) " = u " v + 2 u ' v ' + u v "   ( 3a )

   ( 3a ) direkt anwenden  auf ( 1a )

 f " ( x ) = - ( 1/z ) sin ( x ) -     ( 3b )

     - ( 2 / z ² ) cos ( x ) +    ( 3c )

     + ( 2 / z ³ ) sin ( x )  =      ( 3d )

  = ( 1 / z ³ ) ( 2 - z ² ) sin ( x ) -  ( 3e )

     - ( 2 / z ² ) cos ( x )    (  3f  )

    Und weil's so schön war, machen wir doch gleich noch die 3. Ableitung mit:

  ( u v ) (³) = u (³) v + 3 u " v ' + 3 u ' v " + u v (³)    (  4a  )

 f (³) ( x ) = - ( 1 / z ) cos ( x )  +   (  4b  )

  + ( 3 / z ² ) sin ( x ) +     (  4c  )

   + ( 6 / z ³ ) cos ( x ) -    (  4d  )

    -  ( 6 / z ^ 4 ) sin ( x ) =   ( 4e )

  = ( 1 / z ³ ) ( 6 - z ² ) cos ( x ) + ( 4f )

  + ( 3 / z ^ 4 ) ( z ² - 2 ) sin ( x )   ( 4g )

  Sämtliche Angaben ohne Pistole und Gewehr. Apropos " Gewehr "

  " Damit ich net vergess, Ihne ze verzähle ... "

   der berühmt-berüchtigte Anfang einer jeden Episode des braven Soldaten Schwejk.

   Unsere Dekanatssekretärin HIESS " Marie-Luise Geswwehr " ( 60 )  und stand kurz vor der Pensionierung. Ich hatte die Kleine in mein großes Herz geschlossen - es gab ja nichts, was ich ihr schenken, womit sie mich hätte beglücken können. Es war eine Freundschaft aus edelstem Idealismus.

   Nur bekam ich eben sehr schnell mit, dass meine Kommilitonen sie nicht leiden konnten.

   Und einer meiner Kommilitonen in der Mathematik hörte auf den Spitznamen " Peaches " ; das ist ein Clown aus irgendso einer Rockgruppe.  Wahrscheinlich genau so ein Aff wie mein Kommilitone.

   Und eines Tages wurde Peaches relegiert; nicht nur das bekam ich heraus. ===> Kassandra hatte mir auch beschieden, ich solle erkennen warum.

   Er hatte der Marie-Luise anzügliche Briefe geschrieben, noch dazu gefälscht in meiner Handschrift ...

   Intressiert es dich, wie ich da überhaupt da hinter gekommen bin?

Antwort
von gilgamesch4711, 6

  Ergänzung: gibt#s ja hier nich im Gegentum zu dem Portal ===> Lycos. Kommentar zu Flachsenkel.

  Gerade an Hand dieser Aufgabe werden die Nachteile der Quotientenregel ( QR ) offenkundig.

   Der Hauptnachteil ist  die falsche Asymptotik; mittels LR erkennst du Mühe los, dass die 4 711. Ableitung einen Pol der Ordnung 4 712 hat.

   Dagegen wolltest du nur die 4 710. Ableitung einmal ableiten, so täuscht dir der v ² Nenner der QR einen Pol der Ordnung 2 * 4 711 vor. 

   Eine Analogie zur LR für QR ist bis Heute nicht bekannt. Oh doch; es gibt Metoden, in der Matematik sowas wie Schönheit und geistige Klarheit zu schaffen.

   Die QR dagegen ist der Beweis, dass es auch in der Matematik psychotische Denkstrukturen gibt.

   Die QR ist ABSOLUT TÖDLICH .

   Ihr müsst sie MEIDEN WIE DIE PEST .

   Aktion " Bremer Stadtmathematiker "

   " Etwas Besseres als die QR werden wir überall finden. "

Antwort
von flyingseal, 16

Ich hab sowas ewig nicht gemacht, kannst du mal posten was dein Ableitungsrechner sagt?

Ich würde beim Summanden mit dem sinus noch *(2-(1-x)^2) ergänzen, aber ich hab da bestimmt irgendein Fehler drin

Antwort
von Mukleur, 31

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