Frage von longdongsilva1, 51

Das Ziegenproblem, Mathematik?

Hallo, ich habe eine Frage zum Ziegenproblem in der Mathematik. Zur erklärung : In einer Gameshow soll der Kandidat von 3 Türen 1 öffnen. Hinter einer ist ein Auto und hinter Zwei jeweils eine Ziege. Die Kandidatin wählt eine Tür. Der Moderator öffnet eine andere und zeigt ihr, dass dort eine Ziege ist. Also bleiben noch 2 Türen mit 1 auto und 1 Ziege. Jetzt kommt die frage. In einer sendung die ich gesehen habe, wird gefragt, ob sich die chanse erhört ein Auto zu bekommen wenn man die Türen tauscht. Aber das ist doch egal oder? Die chanse bleibt wenn nur noch 2 Türen da sind 1/2 egal ob man wechselt oder nicht? Ein Typ meinte aber die chanse erhöt sich wenn man dann eine andere tür wählt. Kann das sein?

Antwort
von Blvck, 51

Die Chance ist tatsächlich höher, wenn man wechselt. Zur Erklärung:

Es gibt drei verschiedene Fälle:

1. Der Z. wählt zuerst die Tür, hinter der sich Ziege A verbirgt und würde bei einem Wechsel das Auto bekommen (da der Moderator ja zwangsläufig die andere Ziege zeigen muss)

2. Der Z. wählt zuerst Ziege B und würde ebenfalls durch einen Wechsel das Auto bekommen (s. Fall 1)

3. Der Z. wählt zuerst das Auto und würde dann durch einen Wechsel die Ziege bekommen.

Wie du siehst, gewinnt er in 2 von 3 Fällen, wenn er wechselt, nämlich dann, werde er zuerst die Ziege wählt. Es steht also nicht 50:50 sondern 2/3 zu 1/3, da man mit ca. 67% Wahrscheinlichkeit zuerst die Ziege wählt.

Antwort
von zalto, 38

Das Ziegenproblem ist kürzlich 25 Jahre alt geworden und heise hatte einen guten Artikel dazu gebracht:

http://www.heise.de/newsticker/meldung/Wo-ist-das-Auto-25-Jahre-Ziegenproblem-28...

Wie man an den über 4000 (!) Kommentaren dazu sehen kann, bewegt es nach 25 Jahren noch immer die Gemüter.

Expertenantwort
von hypergerd, Community-Experte für Mathematik, 26

Man kann es kurz machen: durch Zusatz-Info vom Moderator bekommt man zusätzliche Parameter, die anfängliche Chancengleichheit verschieben. Das kann man durch Umentscheidung ausnutzen .

Besser als 1000 Worte (die die meisten Menschen seit über 25 Jahren nicht verstehen!) sind Zufallsgeneratoren die 100 bis 10000 Fälle nachstellen:   

http://www.gerdlamprecht.de/Roemisch_JAVA.htm#ZZZZZ0112

Im Beispiel 112 werden b Versuche nachgestellt (eingestellt ist 100 kann bis 10000 vergrößert werden).

Weiter unten ist alles beschrieben: Ergebnisse

c (durchschnittlich 66.6% bei Umentscheidung) und d (durchschnittlich 33.3% ohne Umentscheidung).

Man kann so oft man will die "Berechnung starten": ab etwa 20 Versuchen konvergiert die Umentscheidung zum 66.666666% Sieg.

Interessant - aber leider Typisch Mensch: 

Als Marilyn vos Savant dieses Zufallsexperiment richtig erläuterte, "...erhielt sie Tausende von Briefen, deren Absender fast alle darauf bestanden, dass sie Unrecht habe... stellten sich 92% der wissenschaftlich nicht vorgebildeten und immerhin 65% der einer Hochschule angehörenden Leserbriefschreiber gegen sie." Statt wissenschaftlich an eine Sache heranzugehen, wird leider immer noch zuerst versucht, den Überbringer des Wissens umzustimmen...

Antwort
von Messerset, 41

Ja, das kann sein und ist auch so. Die Chance, wenn man nicht wechselt, bleibt 1/3. Wenn man wechselt, gewinnt man in zwei von drei möglichen Fällen.
Man kann sich das so vorstellen: wenn du am Anfang auf das richtige Tor getppt hast, vetlierst du beim Wechseln. Wenn du aber auf eines der beiden falschen Tore getippt hast, und die Chance dafür ist 2/3, so gewinnst du beim Wechseln.

Antwort
von lks72, 33

Ja, wenn man wechselt, dann hat man eine Gewinnchance von 2/3.

Dazu gibt es mit Sicherheit 10 verschiedene Erklärungen. Eine sehr einfach ist folgende:

1. Ich bleibe immer bei meiner Meinung: Dann gewinne ich genau dann, wenn ich auch vorher schon richtig lag, das ist in 1/3 der Fälle so.

2. Ich wechsle immer meine Meinung. Dann gewinne ich genau dann, wenn Person 1) verliert, also in 2/3 der Fälle.

Wie gesagt, es gibt zig Erkärungen und auch einige Varianten des Problems. Dies ist eine der einfachsten Erklärungen.

Kommentar von ThomasAral ,

nein stimmt nicht ... kannst ruhig ausprobieren:  du musst den test mit einer anderen person machen und das 100 mal.  Wenn du dann näher an 67 richtig bist hattest du recht, näher an 50 ich :-)

dadurch dass der moderator dir die auf jeden fall falsche tür gezeigt hat ist das spiel neu --- jetzt nur noch mit einer richtigen und einer falschen.  Welche du hast weisst du nicht.  Also die neue Chance  50%.

Denn der Moderator zeigt dir ja im Falle dass du eine falsche Tür hattest nicht zufällig auch mal die richtige --- er weiss ja welche Türen die Ziegen enthalten und zeigt nur diese.

Kommentar von lks72 ,

Du bleibst bei meiner Meinung, ich wechsle immer. Von 900 Spielen gewinnst du dann die Spiele, bei denen du auch schon vorher richtig warst, nämlich 300 Spiele. Die restlichen 600 Spiele gewinne ich. Schau dir bitte eine der tausend Erkärungen auf diversen Seiten an, da wird es teils schön erklärt, auch mit bunten Bildern, so dass es jeder versteht.

Kommentar von hypergerd ,

Genau dafür habe ich 

http://www.gerdlamprecht.de/Roemisch_JAVA.htm#ZZZZZ0112  

(Erklärung weiter unten: aB die zufällige Tür 

aC die Fälle bei Umentscheidung  

aD ohne Umentscheidung (bleibt bei 33.3%) 

Mit b kann man bis 10000 Fälle per Zufallsgenerator beliebig oft durchspielen.

Kommentar von hypergerd ,

Habe missverständlich formuliert. Besser: 

in Spalte aC sind die Fälle ohne Umentscheidung, die per Variable d bei Übereinstimmung aufsummiert und durch die Anzahl der Versuche geteilt werden -> um 33%

in Spalte sD sind die Fälle bei Umentscheidung (nicht die erste Entscheidung und nicht die vom Moderator vorgesagte Niete/Ziege), die per Variable c bei Übereinstimmung aufsummiert und durch die Anzahl der Versuche geteilt werden -> um 66%

Kommentar von Onix1025 ,

Iks hat schon recht.

Antwort
von priesterlein, 35

Ja, die Chance ist höher, aber das ist Theorie und in der Praxis nutzt das dem Kandidaten nichts, wenn er eigentlich schon am Anfang richtig wählte.

Kommentar von Onix1025 ,

Aber er wähl am Anfang ja nur zu 1/3 richtig. Also währ es in der Praxis schon ein Vorteil.

Kommentar von priesterlein ,

Es ist KEIN Vorteil, wenn er am Anfang schon richtig lag, denn dann wechselt er auf die Ziege. Bitte beachte das "wenn".

Wer es selber mal spielen will: http://www.userpages.de/ziegenproblem/

Eines von vielen Ergebnissen dort:

Spiel 2:
Auto ist hinter Tür: 1
Tür ausgewählt: 1
⇒ Tür geöffnet: 3
Zu Tür gewechselt: 2
Verloren

Antwort
von Onix1025, 39

Schau mal:
Beim ersten wählen ist die Chance für das Auto 1/3. die Chance, dass das Auto in einer der anderen Türen ist, ist 2/3. wenn du nun wechselst kommst du auf jeden Fall auf die Tür mit dem Auto, außer wenn die Tür mit dem Auto die mommentane ist. Deshalb beim wechseln 2/3 und sonst 1/3

Antwort
von Tryvox, 37

Wenn ich es richtig verstanden habe wählt man zuerst eine tür die zu bleiben soll. Dann kann sich der Moderator aussuchen welche tür aus dem spiel "entfernt" bzw enthüllt wird. Denke mal das wenn man beim ersten mal direkt eine Ziege wählt würde er direkt die tür mit dem auto rauswerfen. Du hast aber recht wenn nur noch 2 türen über sind eine mit einem auto und eine mit einer ziege dann ist die Chance 1/2 bzw 50 50 wie man so schön sagt. Gehen wir davon aus es läuft so wie ich es gesagt habe dann würde ich die gleiche tür wählen wenn es so ist das diese dann geöffnet wird andersrum aber genauso wenn das ziel ist das die tür mit dem auto dahinter als letztes geöffnet wird.

Ich weis ich erkläre sehr kompliziert :D

Zusammengefasst um kurz und knapp zu antworten bei 2 türen und einer fairen chance liegt die Chance bei 1/2 ob du jetzt die oder die andere nimmst

Kommentar von Tryvox ,

habs falsch verstanden. es wird also als erstes immer eine ziege aufgedeckt. in dem fall liegt deine chance bei einem Wechsel bei 2/3 das auto zu bekommen

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