Das Integral von 1/(1+sin^2(x))?

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2 Antworten

Der Weg dorthin erschliesst sich leicht, indem man das Ergebnis, dass Du ja schon kennst nach allen Regeln der Kunst ableitest. Es muss dann wieder 1/(1+sin^2(x)) herauskommen. Aber an den Rechenzwischenschritten kannst Du dann die Kunstgriffe erkennen.

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Du musst eine ganz entscheidende Umformung finden, dann bekommst du eine Super-Substitution, die dir alles auf einmal löst. Die findest du durch dummes rumprobieren (genau deshalb hasse ich trigonometrische Integrale).

∫1/(1+sin²(x))dx

Jetzt den Bruch mit sec²(x) erweitern:

= ∫sec²(x)/(sec²(x) + tan²(x))dx

Du kennst die folgende Identität: sin²(x) + cos²(x) = 1, teile die Gleichung durch cos²(x) und du erhältst tan²(x) + 1 = sec²(x), also:

= ∫sec²(x)/(1 + 2 tan²(x))dx.

Jetzt substituierst du u = tan(x), du = sec²(x) dx:

= ∫1/(1+2u²)du

= (1/2)∫du/([1/√2]² + u²)

Die Stammfunktion von 1/(1+x²) kennst du ja wahrscheinlich, das ist arctan(x), das erhält man durch Substitution x = tan(u), wenn du also per Hand weiter ausrechnen willst, dann substituiere u = tan(v) und mach da weiter.

= (1/√2) arctan(√2 u) + c

= (1/√2) arctan(√2 tan(x)) + c

Man, das war schwer, da musste ich ne halbe Stunde lang Vereinfachungen ausprobieren, deshalb sorry für die späte Antwort.

LG

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