Frage von xNeco, 25

Das Integral richtig auflösen?

Hey, bin gerade bei integralrechnung, Flächen Berechnung zwischen zwei Funktionen mit gegebenem Flacheninhalt. Nun habe ich die Nullstellen berechnet, nach diesen Integriert, die Stammfunktion eingesetzt und aufgelöst. Doch nun bleibt: 6a^4 - 3a^2 = 4 übrig. Wie löse ich nun korrekt nach 4 auf? PS: f(x) = ax^2 g(x) = x A = 2/3 a > 0

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von Rhenane, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 21

kann nicht erkennen, wie Du auf 6a^4... kommst; hier mein Lösungsweg:

zunächst mußt Du die Schnittstellen der beiden Funktionen ermitteln, indem Du f(x)=g(x) setzt, also ax²=x => ax²-x=0 => x(ax-1)=0 => x=0 und ax-1=0 => x=0 und x=1/a

für diesen Bereich ermittelst Du nun das Integral, also

Integr.(F(x)-G(x))= Integr.(a/3*x³-1/2*x²) => 0-(a/3*(1/a)³-1/2*(1/a)²)=-a/3a³+1/2a²=-1/3a²+1/2a²=     2-3          1
                                  ------  = -  ---- 
                                   6a²          6a²

Damit ist die Fläche zwischen den Schnittstelle =1/(6a²)  {das Minus zeigt, dass die Fläche von g größer als die von f in diesem Intervall ist, also der Graph von g oberhalb dem von f liegt}

Nun soll die Fläche laut Vorgabe 2/3 sein, also

1/(6a²)=2/3   |*a² *3/2
3/(6*2)=a²    | ausrechnen
a²=1/4          |Wurzel ziehen
a=+-1/4  da a>0 sein soll, ist die Lösung a=1/4

Expertenantwort
von Volens, Community-Experte für Gleichungen, Mathe, Mathematik, 17

Auf deine Werte komme ich nicht, meine aber (nach Probe) das richtige a gefunden zu haben. Da Wolfram geholfen hat, habe ich nicht alle Zwischenschritte, aber das lässt sich ja nachholen.

f(x) = ax²
g(x) = x

f(x) - g(x) = ax² - x

Nullstellen dieser Differenzfunktion: 0 und 1/a

Also integriere ich

1/a
  ∫  (ax² - x) dx = - 1/(6a²)
  0

Laut Vorgabe soll dies gleich 2a/3 sein

-1/(6a²) = 2a/3

a = -1/(2^(2/3)) = - ³√2 / 2

Nachdem ich dann dieses a in f(x) eingesetzt habe, ergab sich tatsächlich als Differenzfläche (-1/3) * ³√2, das ist genau 2/3 von dem a darüber.

Antwort
von poseidon42, 16

Also du möchtest folgende Gleichung lösen:

6a^4 - 3a^2 = 4

6u² - 3u = 4   II mit u = a² 

Sollte dir schon mal helfen

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