Frage von Herbt, 16

Darstellung einer irrationalen als rationalen Zahl: Wo zieht man die Grenze?

Guten Tag,

die Bedingungen die für eine rationale Zahl gestellt ist (p/q mit p und q Element der ganzen Zahlen und q ungleich 0) ist für irrationale Zahlen auch erfüllt im Fall p und q gegen unendlich.

Da Frage ich mich wo die Grenze gezogen ist, denn man kann Pi auch mit Zähler und Nenner mit beliebig vielen Ziffern darstellen um so eine Annäherung zu schaffen. Wenn die Annäherung nun gegen unendlich geht, entspricht dies der irrationalen Zahl.

Gibt es eine Ziffergrenze?

Es kann doch nicht sein, dass nur nicht befolgen der Teilerfremdheit den alleinigen Beweis liefert.

Antwort
von Schilduin, 6

Jede reelle Zahl lässt sich (per Definition) durch eine Folge aus rationalen Zahlen annähern. Aber der entsprechende Grenzwert ist nicht zwingend Element der rationalen Zahlen, weil es für manche reellen Zahlen kein p und q aus Z gibt, sodass sie sich als p/q darstellen lassen. Beispielsweise wirst du für Wurzel 2 kein p und q finden, wohl aber Folgen, die dagegen konvergieren (die Wurzelfolge).

Antwort
von polygamma, 10

Es gibt keine "Grenzwertbetrachtungen" in diesem Sinne, wie du sie dir hier gerade vorstellst. Z.B. für PI gibt es eben Definitionen, nach denen sich die Dezimaldarstellung eindeutig ergibt. Wenn man nun nach z.B. 1000000000 Stellen die Berechnung abbricht, hat man in der Tat eine rationale Zahl, aber nicht PI, sondern nur eine Zahl, die sehr nah an PI dran ist.

Kommentar von Herbt ,

Für mich wäre dabei die passende Definition, dass irrationale Zahlen nur durch p/q darstellbar mit p,q element der ganzen zahlen, p,q gegen +/-unendlich und q ungleich 0 darstellbar sind. Wäre das nicht sinnvoller?

Kommentar von polygamma ,

Nein, zumal unendlich und -unendlich überhaupt keine Zahlen sind, sondern "Konzepte", die sich je nach Anwendungsbereich auch unterscheiden können. Siehe z.B.: https://de.wikipedia.org/wiki/Unendlichkeit#Unendlichkeit\_in\_der\_Mathematik

Kommentar von Herbt ,

Danke :) das hat mir geholfen

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