Frage von DeuShades, 128

Darf man durch Epsilon dividieren?

Ich muss eine Ungleichung, die epsilon enthält nach einer unbekannten umstellen. Hab ich auch gemacht, dummerweise kommt nicht das raus was ich erwartet habe. Nach dem 4 mal nachrechnen ist das einzige, was mir als mögliche Fehlerquelle einfällt, dass man evtl. nicht durch epsilon teilen darf, da epsilon ja unendlich klein ist. Andererseits ist es ja nicht wirklich null. Brauche also Hilfe und bin dankbar für jede Antwort.

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von Willibergi, Community-Experte für Mathe, Mathematik, Schule, 70

Was meinst du mit "Epsilon ist unendlich klein"?

Wenn Epsilon der Grenzwert gegen 0 ist, darfst du auch nicht durch Epsilon teilen!

Wenn Epsilon 0 ist, sowieso nicht.

Aber stell' doch mal die Aufgabe hier rein, dann kann ich dir sagen, wo der Fehler liegt. ;)

LG Willibergi 

Kommentar von DeuShades ,

Die Ungleichung lautet: 2ax€² >= a²€²+€²                    (€ = Epsilon)

zu ermitteln ist x in Abhängigkeit von a. Für Epsilon soll dafür ein beliebig kleiner Wert eingesetzt werden können.

Wenn ich durch 2a€ teile, komme ich auf x >= a€²/2 + 1/(2a)

Ist das so richtig/möglich? 

Kommentar von Willibergi ,

Nein, durch Variablen zu teilen, ist nicht erlaubt, da dadurch keine allgemeine Lösung zustande kommt.

2axε² ≥ a²ε² + ε²

Forme um zu:

2axε² ≥ ε²(a + 1)        |-2axε²

ε² - (2ax)/(a²+1) * ε ≤ 0

Damit hast du eine quadratische Ungleichung, die einfach zu lösen sein sollte. ;)

LG Willibergi 

Kommentar von DeuShades ,

welche quadratische Ungleichung meinst du jetzt? Die einzige quadratische Gleichung die ich sehe ist die mit Epsilon. Aber ich kann doch nicht epsilon ausrechnen? Ich möchte doch x in Abhängigkeit von a? Oder hab ich jetzt was übersehen/dich missverstanden?

Kommentar von Willibergi ,

Achso, nein, ich habe dich missverstanden.

Aber eine Umformung nach x ist ja letztendlich auch nur noch eine Äquivalenzumformung. ;)

LG Willibergi 

Kommentar von DeuShades ,

aber bei der Umformung muss ich ja dann auch durch epsilon dividieren

Kommentar von Willibergi ,

ε = 0 ist aber eine Lösung.

Setze ein, dann erhältst du 0 ≥ 0, was wahr ist.

Und eine Division durch 0 ist undefiniert.

2axε² ≥ a²ε² + ε²

2axε² ≥ ε²(a² + 1)

(2ax)/(a² + 1) *  ε² ≥ ε²

Substituieren wir:

(2ax)/(a² + 1) := u

ε² := v

uv ≥ v

Lösungen:

u > 1 ∧ v ≥ 0 ∨ u < 1 ∧ v ≤ 0

Die Rücksubstitution kriegst du selber hin. ;)

Wenn eine Variable null sein kann, muss man das Problem eben umgehen. ^^

LG Willibergi 

Kommentar von DeuShades ,

Riesiges danke, habe es jetzt hingekriegt :) Habe mich oben verschrieben, aber der von dir beschriebene Weg funktioniert trotzdem und führt zum richtigen Ergebnis.

Kommentar von Willibergi ,

Das freut mich. ^^

Gern geschehen! ;)

LG Willibergi

Kommentar von girlyglitzer ,

Angenommen, ε > 0. Dann gilt 2axε² ≥ a²ε² + ε² ⇔ 2axε² ≥ ε²(a² + 1) ⇔ [ε ≠ 0] 2ax ≥ a² + 1

Jetzt gibt es noch zwei Fälle:

1. Fall: a = 0. Das heißt 0 ≥ 1, also falsche Aussage und damit Widerspruch (Fall nicht möglich)

2. Fall: a ≠ 0. Dann gilt x ≥ (a² + 1)/(2a) = a/2 + 1/(2a) und somit x ≥ a/2 + 1/(2a)

Aufgabe gelöst. Wäre ε = 0 zugelassen, behandle diesen Fall einfach extra und er liefert die wahre Aussage 0 ≥ 0 für beliebiges a.

LG girlyglitzer

Kommentar von girlyglitzer ,

Übrigens, eine rein formale Sache: ε ist nicht "unendlich klein"; es ist zwar klar was du hier meinst, man sagt korrekterweise aber, dass ε "beliebig klein" gewählt werden darf.

LG

Kommentar von Willibergi ,

"man sagt korrekterweise aber, dass ε "beliebig klein" gewählt werden darf."

Naja, formaler sagt man einfach, dass ε Element der reellen Zahlen ist - das impliziert schon eine beliebige Größe des Werts.

LG Willibergi 

Kommentar von SlowPhil ,

Wenn Epsilon der Grenzwert gegen 0 ist, darfst du auch nicht durch Epsilon teilen!

So stimmt das nicht. Schließlich ist gerade so die Ableitung definiert:

Eine Funktion f(x) heißt differenzierbar in x₀, wenn der Grenzwert
lim_[h→0] (f(x₀ + h) – f(x₀))/h existiert. Der Grenzwert heißt dann Ableitung von f(x) in x₀ und wird mit f′(x₀) bezeichnet.

Natürlich muss h dann auch im Zähler auftreten, und zwar, falls dieser als Summe auftritt, in jedem seiner Summanden, sodass h ausgeklammert und dadurch gekürzt werden kann.

Expertenantwort
von SlowPhil, Community-Experte für Mathematik, 15

Ich muss eine Ungleichung, die ε enthält, nach einer Unbekannten umstellen.

Da wäre es natürlich hilfreich, zu wissen, wie sie lautet. Die Rückfrage beantwortest Du ja mit

(1) 2axε² ≥ a²ε² + ε² *)

Hab ich auch gemacht, dummerweise kommt nicht das raus was ich erwartet habe.

Das kommt auch dann schon mal vor, wenn das Ergebnis trotzdem richtig ist. Kontraintuitiv heißt nicht falsch. Ich sage nicht, dass es richtig ist, aber es muss eben nicht zwangsläufig falsch sein. Aber wir werden ja sehen.

…ist das einzige, was mir als mögliche Fehlerquelle einfällt, dass man evtl. nicht durch epsilon teilen darf, da epsilon ja unendlich klein ist.

Man kann durch unendlich kleine Größen dividieren, solange die nicht wirklich 0 sind, namentlich im Rahmen der Nichtstandard-Analysis.

--

Exkurs: Teilchen durch 0

Dass man durch 0 selbst niemals dividieren kann, liegt daran, dass die 0 ein großer Plattmacher ist:
Egal, was man mit ihr multipliziert, das Ergebnis ist immer dasselbe: 0. So eine Zahl kann keinen Kehrwert haben, auch nicht etwa ∞. Nicht einmal im Rahmen der »erweiterten Reellen Zahlen« kann ∞ wirklich als Kehrwert von 0 gelten, da »∞·0« ein unbestimmter Ausdruck und nicht etwa eindeutig gleich 1 ist.

---


Das Zeichen ε mit der Maßgabe ε > 0 und der Idee, dass ε beliebig nahe an 0 liegen darf (nicht 0 ist!) wird aber gern in der Standard-Analysis verwendet, die keine aktual-unendlich kleinen Größen kennt. Die etwas umständlichen Definitionen für Stetigkeit und vergleichbare Eigenschaften von Funktionen werden umgangssprachlich »Epsilontik« genannt.

Erst Deinem Kommentar auf eine Antwort konnte ich entnehmen, dass diese Art von ε gemeint ist. Diese Art ε ist ein Parameter, d.h. eine mehr oder weniger beliebig wählbare, im Rahmen der Gleichung dann aber feste Größe, ähnlich wie es a, b und c in der allgemeinen Gleichung ax² + bx + c für eine quadratische Funktion sind. Das a in (1) ist ebenfalls ein Parameter. Die Variable ist x.


…zu ermitteln ist x in Abhängigkeit von a. Für ε soll dafür ein beliebig kleiner Wert eingesetzt werden können.

Da wissen wir schon mal, in welche Richtung wir ermitteln müssen. Warum hast du das nicht gleich in der Frage dargestellt?

Wenn ich durch 2aε teile, komme ich auf x ≥ aε²/2 + 1/(2a)

Ich nicht. Ich komme dann auf xε ≥ ½aε + ε/2a. Du hast die LS und den 2. Term der RS durch ε² geteilt, den ersten aber gar nicht. Laut (1) scheint ε eigentlich ein überflüssiger Parameter zu sein, weil er überall in derselben Potenz steht, nämlich in der zweiten.

Falls (1) wirklich da steht, könntest Du sogar durch 2aε² teilen () und würdest auf

(2) x ≥ ½a + 1/2a

kommen - vorausgesetzt, a > 0.

Ist nämlich a = 0, darfst Du natürlich nicht durch a teilen, aber dann reduziert sich die Ungleichung (1) auch auf

(3) 0 ≥ ε²,

was für ε ∈ ℝ nur mit ε = 0 möglich wäre.

Falls a < 0 ist, musst Du in (2) beim Dividieren ≥ in ≤ umtauschen, denn Du dividierst ja beide Seiten durch etwas Negatives.

Das sollte passen.

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*) In Google Chrome oder Chromium kannst Du

2ax&epsilon;² &ge; a²&epsilon;² + &epsilon;²

schreiben, herauskopieren (STRG+C) und Inhalt einfügen (STRG+U+V). Arbeitest Du mit Firefox, musst Du den Umweg über eine Text- oder HTML-Datei nehmen. Für die Erkenntnis habe ich auch einige Zeit gebraucht, is'n bisschen Erfahrungsgefummel.

Kommentar von DeuShades ,

habe es jetzt hingekriegt. Hatte einen Schreibfehler hier in meiner Formel, weshalb das ganze so nicht hingekommen ist. Habe nochmal die relationszeichen überprüft und am Ende lag es an dem sich umkehrenden Relationszeichen, jedoch nicht durch negatives a sondern beim quadrieren. Danke :)

Kommentar von SlowPhil ,

Was genau hast Du quadriert?

Antwort
von girlyglitzer, 35

Hallo!

Sei ε > 0 beliebig: Das schließt zwar aus, dass ε = 0 und daher darfst du durch ε dividieren, allerdings ist dieses Vorgehen numerisch äußerst instabil (das heißt, der numerische Rechenfehler wird bei beliebig kleinem Epsilon beliebig groß) und das ist in der Praxis oft nicht erwünscht.

Versuche besser, einen Weg zu finden, in dem möglichst große Zahlen im Nenner stehen.

LG girlyglitzer


Antwort
von Rubezahl2000, 62

Wenn ε≠0 dann darfst du durch ε teilen!

Kommentar von Willibergi ,

Da dieser Fall aber nicht auszuschließen ist, darf sie das nicht. ^^

LG Willibergi 

Antwort
von einfachsoe, 53

Da epson != 0, darfst du auch durch epsilon teilen.

Kommentar von Willibergi ,

Woher weißt du, dass ε ≠ 0?

LG Willibergi 

Kommentar von SlowPhil ,

Wenn ε > 0 ist wie in der »Epsilontik« üblich, impliziert dies auch ε ≠ 0.

Antwort
von sodbrenna, 52

Schreib doch mal die aufgabe

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