Solange Du nicht in etwaig vorhandenes Glas bohrst ist das kein Problem, ich hab bei meiner Terrassentür auch einen Griff außen befestigt.

Also, bei Kunststofftüren wäre ich auch vorsichtig und würde lieber auf doppelseitiges Klebeband ausweichen.

Du meinst wahrscheinlich die Türrahmen. Würde ich erst nach Rücksprache mit dem Vermieter tun. Wenn er, der Vermieter nett ist, spendiert er Dir vielleicht Mückenschutztüren und lässt sie von einem Fachmann anbringen. Das ist die beste Lösung.

Es geht nichts kaputt, aber Löcher sollten nie offen bleiben, weil die Luft in den Flügeln auch die Türe isoliert. Sonst leidet die Wärmedämmung. Also wenn etwas abmontiert wird: Löcher zu.

Man kann auch einen Holzrahmen bauen und den in den Türrahmen klemmen. Im Winter braucht man das Mückegitter ja nicht und kann es dan ganz einfach entfernen. Außerdem wird es nicht besser, wenn es über Winter draußen lässt.... Das Thema mit dem Vermieter ist auch so eine Sache...

natuerlich kann man auch doppelseitiges klebeband benutzen

... ausserdem solltest Du das gute Verhältnis zu deinem Vermieter nicht kaputtmachen, denn die sind meist nicht begeisteret von Bohrungen in Fensterrahmen, das weiß ich aus Erfahrung!