Der Arbeitgeber kann die private Nutzung von Dienstgeräten (also auch Computer-Arbeitsplätzen) gestatten oder untersagen. Wenn er sie gestattet, kann er trotzdem einzelne Webseiten sperren. Es sind schließlich seine Geräte und inwieweit er sie seinen Angestellten zur Nutzung überlässt steht alleine in seinem Ermessen. Folglich kann der Arbeitgeber somit indirekt natürlich auch den Kontakt zu Facebook verhindern.
Was der einzelne Angestellte in der Pause mit seinem privaten, Internet-tauglichen Handy anstellt, darauf hat der Arbeitgeber keinen Einfluss, es sei denn, der Arbeitsplatz befindet sich in einem sensiblen Bereich, in dem die Nutzung von Handys untersagt ist.
Wenn ein Angestellter Betriebsgeheimnisse ausplaudert oder sonstwie nachteilig, z.B. beleidigend über seine Firma bzw. den Arbeitgeber herzieht, kann das ernsthafte Folgen für das Arbeitsverhältnis haben, egal, in welcher Form die Indiskretion erfolgt ist. Das gilt dann natürlich auch für entsprechende Facebook-Einträge. Dies kann auch dann gelten, wenn sich ein ursächlicher Zusammenhang mit einer Geschäftschädigung nicht nachweisen lässt und es sich "nur" um einen Vertrauensbruch handelt.
Der juristisch unkundige kann die Tragweite seiner Äußerungen oftmals nicht genau einschätzen, daher wäre ich generell sehr vorsichtig mit entsprechenden öffentlichen oder halb-öffentlichen Informationen über meinen Arbeitgeber.
ich nutze di it nicht