Sie können dich nicht zum Umzug zwingen und haben eigentlich keine Handhabe, bei einer Weigerung eventuell Leistungen zu kürzen oder zu sperren. Selbst wenn du ALG II beziehen solltest und deine Miete für den offiziell genehmigten Betrag zu hoch wäre. In diesem Fall könnte zwar ein Teil der Miete nicht übernommen werden, der übliche Satz muss aber bezahlt werden. Ggf. kannst du auch hier einen Fall persönlicher Härte geltend machen.
Die Schwachstelle an der gesamten Hartz-Geschichte sind Mängel bezüglich einer Härtefall-Regelung. So war das zumindest noch beim letzten, von mir erlebten Sozialgerichts-Verfahren, welches mit einer Rückforderungs-freien Nachzahlung von mehr als 20.000,- € endete. Hätte sich die ARGE damals nicht darauf eingelassen, wäre das Ganze vors Bundessozialgericht gegangen und hätte durchaus zur Auflage für den Gesetzgeber zu einer Neuregelung des gesamten Werks führen können.
Dein Fall ist zweifelsfrei als Härtefall zu bezeichnen. Du solltest dich möglichst umfassend um Nachweise für deine Krankheit und die augenblickliche Regelung der Kindesbetreuung kümmern, die gesamte Situation in Schriftform dem Amt zukommen lassen und die Anerkennung eines Härtefalls einfordern.
Bei konkreter Forderung (und das ist eigentlich nicht zu erwarten) nach einem Umzug, sollte dir ein klares Jobangebot vorliegen, bzw. ein Job vorhanden sein. Dazu gehört auch deine Vorstellung vor Ort. Hier kannst du schon mal die Anfahrtskosten vom AG fordern, sollte das übernommen werden, kannst du im Gespräch auf deine Problematik hinweisen, alles offen legen. Du musst zwar nicht immer und überall alles offen machen, aber niemand kann dich bestrafen, wenn du es dennoch tust.
Fast jeder Arbeitgeber, wenn er nicht schon im Vorfeld auf das Gespräch verzichtet, weil er die Anfahrt nicht bezahlen will, wird sich zwei Mal überlegen, ob er eine chronisch kranke Frau in Vollzeit einstellen möchte, die jederzeit mal ausfallen kann. Da helfen auch Förderungen durch die Behörde nichts. Teilzeit wäre ohnehin Quatsch, weil das deine Situation eher verschlechtern würde.
Gegen eine offizielle Forderung nach einem Umzug würde ich raten, sofort Widerspruch einzulegen, falls diese je kommen sollte. Falls zu dazu Hilfe brauchst, musst du das mit Hilfe eines Anwalts tun. Hier würde ich einen Verwaltungsrechtler dem Sozialrechtler vorziehen, geht natürlich beides und ideal wäre eine Kombi.
Falls kein Geld dafür da ist, Antrag auf Beratungsgutschein beim Amtsgericht holen, den Anwalt deiner Wahl aufsuchen und mit dessen Unterstützung Prozesskostenhilfe beantragen.
Zuletzt: Die Idee mit dem Antrag auf Subventionierung deines Jobs (von DerHans) ist sehr gut und überlegenswert.
Schöne Antwort und sehr gute Idee.