Cauchy-Kriterium zum Beweis eines Grenzwertes?
JoWaKu am 26.10.2009 um 21:08 Uhr
Dies ist keine Hausaufgabenfrage (ich bin ü50), sondern eine Verständnisfrage:
Wie wendet man das Cauchy-Kriterium in der Praxis zum Beweis (oder dem nicht-Beweis) eines Grenzwertes praktisch an?
Kann das mal jemand mit einem/mehreren verständlichen Beispiel(en) erklären; bzw. gibt es einen Link zu verständlichen(!) Erklärungen und Beispielen?
Gruß JWK
Ergänzung: Gemeint ist die Anwendung bei Funktionen, nicht bei Folgen oder Reihen
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Hallo,
vielleicht ein Beispiel:
Betrachte die Funktion f(x) = x * sin(1/x) für x<>0 und f(0) = 0.
Es gilt lim[x->0]f(x) = f(0) = 0.
Sei e>0, nimm d < e/2. Dann gilt für x,y € ]-d;d[:
|f(x)-f(y)| = |x * (sin(1/x)-sin(1/y))| = |x| * |sin(1/x)-sin(1/y)| < e/2 * 2 = e, da die Differenz von zwei Sinuswerten betragsmäßig höchstens 2 ist.
Ia(n+1) - a(n)I < epsilon, mit beliebig kleinem epsilon (I=Betragstrich) wenn man die folge an hat, bildet man die differenz an+1 - an und erhält zB 1/n < epsilon dh n>1/epsilon.also liegen alle an für n>1/epsilon in der umgebung. Hast du konkrete folge? ist so schwer zu erklären. gruß ej
Ellejolka am 26. Oktober 2009 21:33 http://www.math.uni-sb.de/ag/wittstock/lehre/WS00/analysis1/Vorlesung/node42.html das sieht nicht so ganz einfach aus.
JoWaKu am 26. Oktober 2009 21:50 Es geht mir um Funktionen und nicht um Folgen oder Reihen!
JoWaKu am 27. Oktober 2009 19:25 Am exaktesten treffen es die Seiten 58 bis 59 in Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler von Thomas Holey, Armin Wiedemann Hierkann man sie sogar sehen:
http://books.google.de/books?id=DAwfMwJUBiQC&printsec=frontcover#v=onepage&q=&f=false
Abschnitt 2.7.2
Aber wie erklärt man das sich und Anderen wirklich verständlich, einfach und so, dass es sich auf andere Fälle übertragen lässt?
Bin Ingenieur und kein Mathematiker. ;-)
Es macht einfach nicht Klick bei mir. seufz
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Das habe ich jetzt nicht wirklich verstanden.
Woher kommt das y und das f(y)?
y ist kein Funktionswert, sondern x und y sind einfach zwei beliebige Argumente (hätte besser x1 und x2 genommen). Nun geht es in Worten darum: Wenn zwei beliebige x,y Werte nur nahe genug um den zu betrachtenden Punkt (hier 0) beieinander liegen (das ist das delta), dann sind die beiden Funktionswerte auch sehr nahe beieinander (dies ist das vorgebene epsilon). Der Trick ist nun, dass man zeigt, dass, egal wie kleine dieses Epsilon ist, man immer ein delta finden kann, das so klein ist, dass die obige Beziehung gilt.
p.s. Ich kannte dieses Cauchykriterium (für Funktionen) nicht, habe auch noch keine Anwendung gefunden, wo man es unbedingt braucht (die gibt es bestimmt). Mein Beispiel oben wäre folgendermaßen schneller zu lösen: |x| ist eine Nullfolge (für x->0), |sin(1/x)| ist beschränkt, das Produkt |x * sin(1/x)| aus einer Nullfolge und einer beschränkten Folge ist aber wieder eine Nullfolge, also lim[x->0]|x * sin(1/x)| = 0 = f(0) genau wie oben, aber, wie ich finde, eleganter.