Ich möchte in meiner Wohnung den Fernseher an eine andere Wand stellen. Welchen Handwerker beauftragt man am besten mit der Verlegung der Buchse - einen Elektriker?

Ein Fernsehtechniker ist wohl besser als ein Elektriker, obwohl er sich das sicher zutraut. Ein halbwegs geschickter Heimwerker macht das auch selbst.
Das Antennenkabel kann man doch selbst verlegen, dafür braucht man keinen Handwerker.
Wenn du vermeiden willst, dass die Wand aufgestemmt wird, um das Kabel neu zu verlegen, dann probiere es doch mal mit einem Funksystem für das Antennensignal.
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Elektriker oder Antennen-Anlagen-Bauer oder man geht in den Baumarkt und kauft sich 5m Verlängerungskabel!