Frage von Cny2456, 134

Brüche aufleiten?

Wie wird folgende Funktion aufgeleitet? f (x)=2/3x^3+4x^2

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von MeRoXas, Community-Experte für Mathe, 115

Du rechnest die Vorfaktoren von x geteilt durch den Exponenten von x um 1 erhöht und fügst am Ende ein C ran.

Anhand deines Beispiels:

f(x)=2/3x³+4x²

F(x)=2/3/4x^4+4/3x³

F(x)= 1/6x^4 + 4/3x³ + C

Abgeleitet ergibt dies wieder f(x).

Kommentar von Cny2456 ,

Danke 

Expertenantwort
von Rhenane, Community-Experte für Mathe, 57

sollte das x³ auch im Nenner stehen, kannst du es als x^-3 schreiben und nach der bekannten Regel integrieren. Soll es 2/3 *x³ heißen, also x³ hinter den 2/3 so ist 2/3 nur ein konstanter Faktor, der so in die Integration übernommen wird, wie bei z. B. 2x³ auch...

Antwort
von JTR666, 42

Bitte verwende NIEMALS das Wort "aufleiten", das gibt es einfach nicht in der Mathematik. Der richtige Begriff lautet "integrieren".

Aber jetzt zu deiner Frage:
Wenn du Einen Bruch Integrieren willst, musst du zunächst den Bruch so umformen, dass du am Ende nur eine Reihe von Brüchen hast, bei denen entweder das x oben oder das x unten steht.
Da ja ein Integral nichts anders als eine Summe ist, kannst du jetzt jeden Einzelnen Bruch separat initegrieren.

Aber wie macht man das bei den Brüchen, bei denen das x im Nenner steht?
Wenn wir z.B. 2/(3x+1) haben, dann können wir den Bruch wunderbar mit Substitution integrieren, indem wir einfach sagen, dass 3x + 1 = z ist.
Jetzt müssen wir noch wissen, wie viel dx einem dz entspricht, denn das müssen wir auch noch berücksichtigen, da wir jetzt nach z integrieren.
dz/dx = 3 (Die Ableitung von 3x+1).
1/3*dz = dx
Jetzt wissen wir, dass wir für dx 1/3*dz schreiben können.
Somit ist unser Ausdruck im Integral 2/z * 1/3*dz = 2/3 *1/z*dz
Die 2/3 sind nur ein konstanter Faktor, welchen wir vor das Integral schreiben dürfen.
Unser Integral lautet demnach 2/3 * integ(1/z)dz
Wie du wohl schon weißt, weil du sonst die Frage nicht gestellt hättest, ist das Integral aus 1/x (oder jetzt in unserem Fall z) ln(x), weswegen wir für unser Integral 2/3*ln(z) (+ die Konstante c) erhalten.
Jetzt müssen wir nur noch wieder für unser z die 3x+1 einsetzen und du hast den Bruch 2/(3x+1) wunderbar integriert.
f(x) = 2/(3x+1)
F(x) = 2/3 * ln(3x+1)

Wenn du dir jetzt mal das Beispiel (2x²+1)/(3x+1) nimmst, dann ist das erst mal 2x²/(3x+1) + 1/(3x+1).
Aus dem ersten Bruch erhältst du 2x/3 + 2/(3x+1)*1/9 - 2/9.
(Wie ich da jetzt drauf komme ist jetzt nicht so wichtig, weils auch etwas länger dauern würde das zu erklären.)
Den ersten und den letzten Bruch kannst du wunderbar mit den Grundlagen der Integralrechnung integrieren, und den Bruch in der Mitte mit oben beschriebener Methode auch.

Das Problem ist am Ende nur noch, den Bruch so umzuformen, dass man wirklich nur Brüche hat in denen entweder im Zähler oder im Nenner, aber niemals gleichzeitig, ein x steht.

Ich hoffe ich konnte dir helfen!

JTR

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