Frage von keinalu, 42

Bruchrechnung, Folgen, Grenzwert - Wie ist diese Zahl in den Zähler gekommen?

Hallo! Am Donnerstag gibt es eine Mathe-Schularbeit, also herrscht bei mir schon wieder die Panik. Nun bin ich bei dem folgenden Beispiel im Bereich Folgen stehengeblieben:

Ich habe eine Folge: an = 3/n+1 - die Folge konvergiert also gegen Null. Dazu soll ich nun den Epsilon-Beweis durchführen. Wozu ich selber gekommen bin ist die erste Gleichung: 3/n+1 < e Leider bin ich aber offenbar an der Bruchrechnung gescheitert, denn ich begreife nicht, wie ich von dieser Gleichung zu der Lösung n > 3/e - 1 (Eins nicht mehr unter dem Bruchstrich, sondern alleinstehende Zahl). Wie ist der Einser in den Zähler gekommen? Wie muss ich bei einem ähnlichen Beispiel vorgehen?

Vielen Dank für eure Hilfe!

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von varlog, 39

Solche Beweise müsst ihr in der Schule führen? Gehört das überhaupt auf den Lehrplan?

1. Deine Folge konvergiert für n -> unendlich gegen 1. Meinst du 3/(n+1)?

2. (e sei hier epsilon) Du musst ja zeigen, dass Für alle e > 0 ein N aus |N existiert, sodass für alle n>N : |a_n - a| < e.

a ist hier der Grenzwert also 0. Jetzt bastelst du dir dein N irgendwie so, dass es passt. (N ist ja frei wählbar, außer, dass es in |N liegen muss)

|a_n - a| = 3/(n+1) < 3/n = [...]        //Wie musst du jetzt dein N wählen damit am Ende da steht |a_n-a| < e?

Kommentar von keinalu ,

Ja, ich habe die Klammer vergessen! Zumindest in Österreich ist dies der Stoff der 10. Schulstufe :) Ich brauche den Grenzwert beweisen, also wollen sie eine Ungleichung, die dann für alle beliebigen Epsilons gilt. In diesem Fall steht bei mir in Lösungen eben n > 3/e - 1. Und ich habe keine Ahnung, durch welche Regel ich von 3/(n+1) < e zu diesem Ergebnis gelangen kann. Die Lehrerin in der fünften Klasse hat uns ja gesagt, wir werden die fehlenden Grundlagen noch bereuen :D

Kommentar von varlog ,

Okay, das wundert mich etwas. Hier in DE gab's das im ersten Semester an der Uni.

Diese Umformung ist ja nur eine Möglichkeit auf dein N zu kommen. Zwingt dich ja theoretisch keiner genau das zu nehmen.

Du könntest auch wie ich oben angedeutet habe durch Abschätzungen zunächst das +1 im Nenner wegbekommen und dann ist klar das N=3/e.

Aber zu deiner eigentlichen Frage: Das sind im Grunde genommen nur einfache Umformungen:

3/(n+1) < e       

<=> 3 < e(n+1)

<=> 3/e < n+1

<=> 3/e -1 < n

Also 1. mit (n+1) multiplizieren auf beiden Seiten. 2. Durch e teilen auf beiden Seiten. 3. -1 auf beiden Seiten.

Kommentar von keinalu ,

Ach so! Jetzt verstehe ich es! Vielen Dank für Deine Hilfe! 

Antwort
von lks72, 10

Alles mal n-1 , dann durch e, dann -1 , dann hast du n > 3/e - 1. Für diese n gilt nun also auch die erste Ungleichung , damit ist der Beweis komplett.

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