Bruchrechnung, einen Nenner bringen

Mit deiner Methode bestimmst du tatsächlich einen sogenannten Hauptnenner. Allerdings wird dieser mit steigender Anzahl der beteiligten Brüche und / oder bei großen Nennern recht schnell recht groß, sodass man hinterher Probleme beim Kürzen bekommt.

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Um das zu vermeiden, versucht man, das Kürzen vorweg zu nehmen, solange die beteiligten Nenner noch klein sind.

Dazu versucht man, nicht nur irgendeinen Hauptnenner zu finden, sondern den kleinstmöglichen Hauptnenner.

Der kleinstmögliche Hauptnenner ist das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) aller beteiligten Nenner. Das ist die kleinste Zahl, die durch jeden der beteiligten Nenner ganzzahlig teilbar ist.

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Ziel ist es, möglichst alle Faktoren zu finden, die in allen beteiligten Nennern vorkommen. Hat man einen solchen Faktor gefunden, dann dividiert man alle Nenner durch diesen Faktor. Das Produkt aus den so gebildeten Quotienten multipliziert mit dem Faktor ist wieder ein Hauptnenner, und zwar ein deutlich kleinerer, als es das Produkt aller ursprünglichen Nenner ist.

Hat man auf diese Weise alle diese Faktoren gefunden und die Nenner entsprechend reduziert, dann ist das Produkt aller dieser Faktoren multipliziert mit dem Produkt aller "Nennerreste" das kleinste gemeinsame Vielfache der ursprünglichen Nenner.

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Wie aber findet man diese Faktoren und vor allem, wie kann man sicher sein, dass man tatsächlich alle Faktoren gefunden hat?

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Nun - die Lösung ist die Primfaktorenzerlegung.

Alle beteiligten Nenner werden in ihre Primfaktoren zerlegt. Da sich jede natürliche Zahl in ein Produkt von Primzahlen zerlegen lässt, ist dies immer möglich.

Aus der Primfaktorenzerlegung kann man nun recht einfach alle Faktoren bilden, die allen beteiligten Nennern gemeinsam sind.

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Beispiel: Bestimme das kgV der Zahlen

180, 216 und 792

Primfaktorzerlegung:

180 = 2 * 2 * 3 * 3 * 5

216 = 2 * 2 * 2 * 3 * 3 * 3

792 = 2 * 2 * 2 * 3 * 3 * 11

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Wie man sieht, kommen in allen Zerlegungen die Faktoren 2 * 2 = 4 und 3 * 3 = 9 vor.

Streicht man nun diese Faktoren aus allen Zerlegungen, dann ergeben sich folgende Reste:

180: 5

216: 2 * 3 = 6

792: 2 * 11 = 22

Das Produkt dieser Reste und der herausgestrichenen Faktoren ergibt:

5 * 6 * 22 * 4 * 9 = 23.760

Dies ist das kleinste gemeinsame Vielfache der ursprünglichen Zahlen, also der kleinstmögliche Hauptnenner dreier Brüche, deren Nenner 180, 216 und 792 sind.

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Hätte man die ursrpünglichen Nenner einfach nur miteinander multipliziert, so wäre man auf

180 * 216 * 792 = 30.792.960

gekommen, also auf mehr als das tausendfache des kgV.

Ein eklatanter Unterschied, nicht wahr?

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Übrigens: Bei der Multiplikation und der Division zweier Brüche braucht man keinen Hauptnenner.

Bei der Multiplikation multipliziert man statt dessen einfach die beiden Zähler miteinnander (dies ergibt den Zähler des Ergebnisses) und die beiden Nenner miteinander (dies ergibt den Nenner des Ergebnisses):

( 2 / 3 ) * ( 4 / 5 )

= ( 2 * 4 ) / ( 3 * 5 )

= 8 / 15

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Bei der Division zweier Brüche multipliziert man einfach den ersten Bruch mit dem Kehrwert des zweiten Bruches:

( 8 / 15 ) / ( 4 / 5 )

= ( 8 / 15 ) * ( 5 / 4 )

= ( 8 * 5 ) / ( 15 * 4 )

= 40 / 60

= 2 / 3