Frage von berna14, 24

Bruchgleichungen lösen und Lösungsmenge bestimmen, wer kennt sich am besten aus?

Hallo Leute, ich habe ein riesen Problem und zwar sitze ich Stunden daran, aber komme nie auf das richtige Ergebnis würde mich sehr freuen wenn mir jemand helfen würde. Bei der Bruchgleichung im Anhang die c) zum Beispiel hatte ich überhsuot kein überblick mehr. Diese lautet: 3x/x+3-7x+4/5x+7=0 Ich soll brüche erweitern aber wie soll das gehen mit "x-1" zum Beispiel.

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von poseidon42, 9

Ich kann die Gleichung zwar nicht lesen, aber ich kann dir mal ein anderes Beispiel geben:

3x/(x+3) - 7x + 4/(5x+7) = 0  

Du möchtest bei einer Addition von Brüchen ja alle auf den gleichen Nenner bekommen, du machst also Folgendes:

3x/(x+3) - 7x + 4/(5x+7) = 0  

3x*(5x + 7)/((x+3)*(5x + 7)) - 7x*(x+3)*(5x + 7)/((x+3)*(5x+7)) + 4*(x+3)/((x+3)*(5x+7)) = 0

[ Du erweiterst alle Summanden ]

Und das ist wiederum zusammengefasst:

[ 3x*(5x + 7) - 7x*(x+3)*(5x + 7) + 4*(x+3) ]/((x+3)*(5x+7)) = 0

Wir müssen also als nächtes nun den Zähler ausmultiplizieren:

[15x² + 21x - 7x*(5x² + 7x + 15x + 21) + 4x + 12 ]/((x+3)*(5x+7)) = 0

[ 15x² + 21x - 35x³ - 49x² - 105x² - 147x + 4x + 12]/((x+3)*(5x+7)) = 0

Zusammengefasst:

[ -35x³ - 139x² -122x + 12 ]/((x+3)*(5x+7)) = 0

Ein Bruch wird Null, wenn der Zähler gleich 0 ist, daher gilt es nun folgendes zu berechnen:

-35x³ - 139x² -122x + 12 = 0

Dies kann man nun mithilfe des TR lösen oder der Cardanischen Formel lösen:

https://www.lernhelfer.de/schuelerlexikon/mathematik-abitur/artikel/die-cardanis...

Man erhält schließlich als Lösungen:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=-35x^3+-+139x^2+-122x+%2B+12+%3D+0

x(1) = ca. -2.55

x(2) = ca. -1.51

x(3) = ca. 0.09

Nun gilt es zu überprüfen ob diese im Definitionsbereich liegen, denn obige Gleichung, mit welcher wir angefangen haben, ist nur definiert solange nicht durch 0 geteilt wird. Wann wird also einer der Nenner in dieser Gleichung 0 ?

Betrachte dazu:

[ 15x² + 21x - 35x³ - 49x² - 105x² - 147x + 4x + 12]/((x+3)*(5x+7)) = 0

Mit dem Nenner:

(x+3)*(5x+7)

Es gilt nun zu berechnen für welche x gilt:

(x+3)*(5x+7) = 0

Ein Produkt wird Null, wenn einer der Faktoren Null ist, daher folgt hier trivialer Weise:

x + 3 = 0     oder    5x + 7 = 0

Und damit die beiden Lösungen:

x(4) = -3   und    x(5) = -7/5 = - 1,4

Daraus folgt ein Definitionsbereich von: D = IR\{ -3, -1.4}

Und eine Lösungsmenge von IL ={ x : x € { -2.55, -1,51, 0.09} }

Antwort
von petgirl, 11

Ich verstehe nicht ganz was nenner und zähler bei dir sein sollen

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