Frage von PartyPilz, 52

Bruch-Umformung (Faktorisierung) mit e^-x im Nenner?

Hallo zusammen,

ich bin gerade etwas am Verzweifeln: In der Lösung einer Klausur hat mein Lehrer den Term 1 / (e^-x -1) zu diesem Term umgeformt: e^x/(-e^x +1)

Ich versuche seit einer halben Ewigkeit, auf die Regeln (und Beispiele) zu stoßen, die das erklären. Kann sich bitte einer von Euch versuchen, ich verzweifle gerade...

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von Volens, Community-Experte für Mathematik, 8

Äquivalenzumwandlung ohne Kehrwert

Deine Schreibweise ist etwas ungünstig: die Behauptung ist

1 / (e⁻ⁿ - 1) = eⁿ / (-eⁿ + 1)           Meine Maschine kann den Exponenten n
                                                    produzieren, x aber nicht.

So kommt klarer heraus, dass -1 und +1 nicht im Exponenten stehen, was ich zunächst annahm.

Kannst du erweitern?
http://dieter-online.de.tl/Br.ue.che-1.htm

Ich erweitere zunächst einfach mit eⁿ. Dann ändert sich der Wert des Bruches nicht.

1 / (e⁻ⁿ - 1) = eⁿ / (eⁿ * (e⁻ⁿ - 1))      |  Nenner ausmultiplizieren
                  = eⁿ / (eⁿ * e⁻ⁿ  - eⁿ)      |  1. Potenzgesetz
                  = eⁿ / (     1      - eⁿ)   
                  = eⁿ / (- eⁿ  + 1)

  

Expertenantwort
von Willy1729, Community-Experte für Mathematik, 21

Hallo,

e^(-x)=1/e^x

Betrachte den Nenner:

e^(-x)-1=1/e^x-1

Wenn Du die 1 mit e^x erweiterst, kannst Du sie mit auf den Bruchstrich bringen:

1/e^x-e^x/e^x=(1-e^x)/e^x oder (-e^x+1)/e^x

Da das Ganze unter einem Bruchstrich mit einer 1 als Zähler steht, bildest Du einfach den Kehrwert:

e^x/(-e^x+1)

Herzliche Grüße,

Willy

Antwort
von YStoll, 25

e^-x = 1 / e^x (hoffentlich klar)
1 = e^x / e^x (praktisch trivial)

=> e^-x -1 = (1 - e^x) / e^x (zwei Brüche mit gleichem Nenner addieren bzw. subtrahieren)

=> (e^-x -1)^-1 = e^x / (1 - e^x) = e^x/(-e^x +1) (Kehrbruch)

Antwort
von gfntom, 25

1/(e^(-x)-1) = 1 / (1/e^x - 1) = 1 / (1/e^x - e^x/e^x) = 1 / (1-e^x) /e^x =e^x/(1-e^x)

Expertenantwort
von Ellejolka, Community-Experte für Mathematik, 8

1/(e^-x - 1) =

1/(1/e^x - 1) =     im Nenner auf Hauptnenner bringen

1 / ( (1 - e^x)/e^x )   Bruchrechnung→ Kehrwert =

e^x / (1 - e^x)   =

e^x / ( e^x + 1)

Antwort
von Peter42, 31

dir ist bekannt, dass " e^-x " identisch ist mit " 1 / e^x "? - genau das ist der Punkt: setze das ein und vereinfache dann den etwas unhandlichen Bruch - dann kommt da unverzüglich das Ergebnis raus - ganz ohne Zauberei.

Kommentar von PartyPilz ,

Ja, damit habe ich es auch schon versucht. Mir scheint aber, dass ich dafür kein Auge habe:

"1/e^-x -1" wird zu "1/(1/e^x)-1" - wieso springt nun das e^x auch in den Zähler? 

Kommentar von Peter42 ,

na, ganz easy: wie addiert bzw. subtrahiert man denn einen Bruch ( 1 / e^x) mit einer anderen Zahl? - auf den Hauptnenner bringen, der ist e^x. und dann steht eben im Nenner (des ganzen Gebildes) ein Bruch. Zähler dieses Bruchs = 1- e^x, Nenner = e^x. So, was gibt "Zahl durch Bruch"? - natürlich Nenner(des Bruchs) mal Zahl durch Zähler(des Bruchs).

Antwort
von HamiltonJR, 22

alle Summanden werden mit e^x erweitert..

dabei entsteht e^x/ (e^-x *e^x-e^x)

e^x im Nenner ausgeklammert

e^x/(e^x(e^-x-1)

Potenzregel anwenden (A^b *A^c= A^(b+c))

e^x/(e^0 -e^x)

= e^x /(1-e^x) = e^x /(-e^x +1)

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