Frage von Backshark, 46

Wie kann man diesen Bruch umformen mit Hilfe der binomischen Formel?

f(x)=x^4+x³-1+a (a konstant) g(x)=x²+x+1

In der Aufgabe muss der unechte Bruch f(x)/g(x) in eine Polynom mit einem echten rationalen funktion umgeformt werden. Die Lösung ist: x²-1+ (x+a)/(x²+x+1)

Am Anfang habe ich die 3 Binomische Formel benutzt um aus x^4-1=(x²+1)(x²-1) zu machen. Ich könnte das x³ zu x * x² umschreiben um somit x²+x+1 zu haben und das dann seperat mit dem Nenner zu kürzen. Dann hätte ich rein theoretisch

((x²-1)(x²+1)+xx²+a)/(x²+x+1)= ((x²-1)(x²+1)+xx²)/(x²+x+1)+a/(x²+x+1) von Hier aus komme ich aber nicht auf die gegebene Lösung.

Expertenantwort
von Volens, Community-Experte für Mathe, 22

Das geht auch nicht mit den Binomischen Formeln, sondern mit Polynomdivision. Es müssen Lücken für fehlende Potenzen vorgesehen werden!

 (x^4 +x³            -1+a) : (x²+x+1)  =  x² - 1
-(x^4 +x³ +x²)
__________
               -x²      - 1 + a
              (-x² - x - 1)
              ___________
                      x +      a

Im Gegensatz zu dem, was man so kennt, gibt es hier einen Rest, und der wird hinter das obige Ergebnis geschrieben:

                 +    (x + a) / (x² + x + 1)

Kommentar von Backshark ,

Und nochmal danke für die ausführliche Antwort :)

Kommentar von Volens ,

Schon OK. Auf so etwas muss man ja auch erst mal kommen.
Denk in Zukunft einfach dran. Meistens gehen die Polynomdivisionen auf, manchmal nicht.

Dann soll meist eine Asymptote bestimmt werden.

Hier riecht es ja obendrein nach Kurvenschar.

Antwort
von karajan9, 11

Du kannst die Lösung nehmen und von da aus zurückrechnen. Sprich so lange basteln, bist du wieder beim ursprünglichen f(x)/g(x) angekommen bist. Das geht häufig viel leichter (hier auch, fand ich) :-)

Kommentar von Volens ,

Als Idee nicht schlecht. Hauptsache, man weiß sich zu helfen.
Aber als Algorithmus verwerflich ...
:-)

(Außerdem ist ja üblicherweise die Lösung nicht bekannt.)

Kommentar von karajan9 ,

Das stimmt wohl. Es funktioniert gut bei "Beweisen Sie, dass..." und in Momenten wie diesen.

Expertenantwort
von Ellejolka, Community-Experte für Mathe, 13

du brauchst nur eine Polynomdivision vorzunehmen, dann kommt die Lösung raus.

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