Frage von Killex01, 29

Brauche in Mathe Hilfe zu einer Extremwertaufgabe?

Eine Gerade mit negativer Steigung verläuft durch P(4/3) im ersten Quadranten und grenzt mit beiden Koordinatenachsen zusammen ein dreieckiges Flächenstück ein. Wie soll diese Gerade verlaufen? Gesucht ist jenes Dreieck mit dem kleinsten Flächeninhalt von allen!

Expertenantwort
von Willy1729, Community-Experte für Mathematik, 13

Hallo,

eine Gerade hat die Funktionsgleichung y=mx+b, wobei m die (hier negative) Steigung ist und b der Abschnitt, an dem die y-Achse geschnitten wird.

Das rechtwinklige Dreieck, das durch die Gerade unnd die beiden Koordinatenachsen begrenzt wird, hat den Flächeninhalt 0,5*x0*b, wobei x0 die Nullstelle der gesuchten Geraden ist.

Die Hauptbedingung lautet also: 0,5*x0*b=minimal.

Die Nebenbedingung ergibt sich aus dem Punkt (4|3). Wenn Du diesen in die Geradengleichung einsetzt, bekommst Du:
3=4m+b

b=3-4m

So wäre b schon einmal in Abhängigkeit zum gesuchten m ausgedrückt.

Was wissen wir über die Nullstelle?

x0 muß die Gleichung mx0+b=0 erfüllen

mx0=-b

x0=-b/m

b können wir durch 3-4m ersetzen:

x0=(-3+4m)/m

Nun haben wir Gleichungen, in denen nur noch m als Unbekannte vorkommt.

Wir setzen sie in die Gleichung für den Flächeninhalt ein und machen daraus eine von m abhängige Funktion f(m):

f(m)=0,5*[(-3+4m)/m]*(3-4m)

Wir haben also in der Flächenformel A(Dreieck)=0,5*x0*b x0 und b durch Terme ersetzt, in denen nur noch m als Variable vorkommt.

Wenn Du nun f(m) ableitest und auf Null setzt, ist die negative Lösung der Wert für m, an dem die Dreiecksfläche minimal wird.

Herzliche Grüße,

Willy

Kommentar von Willy1729 ,

Wenn Du f(m) ausmultiplizierst, bekommst Du 
0,5*(-3/m+4)*(3-4m)=0,5*(-9/m-16m+24)=-4,5/m-8m+12

f'(m)=4,5/m²-8

Auf Null setzen:

0=4,5/m²-8

4,5/m²=8

m²=9/16

m=3/4 oder m=-3/4

Laut Voraussetzung sollte m negativ sein, also kommt nur die Lösung m=-3/4 in Frage.

Da b=3-4m und m=-3/4, ist b=6

So lautet die Geradengleichung der Geraden, die durch Punkt (4|3) geht und die mit den Koordinatenachsen eine minimale Fläche bildet:

y=(-3/4)x+6

Willy

Antwort
von regex9, 16

Naja, es würde dann ja ein rechtwinkliges Dreieck gebildet werden. Dies hat die Innenwinkelsumme von 180 Grad, 90 Grad sind noch übrig. Ob sich das Dreieck nun mehr nach oben oder nach unten verlagert, sollte egal sein. Du kannst ja testweise einmal errechnen, welchen Flächeninhalt ein Dreieck mit den Innenwinkeln 90, 40 und 50 Grad hat.

Diesen Flächeninhalt vergleichst du mit einem Dreieck, welches die Innenwinkel 90, 45 und 45 Grad besitzt. 

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