Frage von AnonyJS, 44

Brauche Hilfe bei Herleitung der Regel von Sarrus?

Also ein allgemeines 3x3 LGS (ohne Malzeichen):

I k1x+k2y+k3z=h

ll k4x+k5y+k6z=u

lll k7x+k8y+k9z=v

Mein Lösungsansatz:


l*k4

l*k7 = l´

l*1/2

ll*k1

ll*k7 = ll´

ll*1/2

lll*k1

lll*k4 = lll´

lll*1


Daraus ergibt sich vorerst;

l´ k4k7k11/2x+k4k7k21/2y+k4k7k31/2z=k4k71/2h

ll´ k1k7k41/2x+k1k7k51/2y+k1k7k61/2z=k1k71/2u

Somit einfach: l´+ll´=ll´´

ll´´ k4k7k1x+(k4k7k2y+k1k7k5y)+(k4k7k3z+k1k7k6z)=k4k7h+k1k7u

Nun ll´-lll´=lll´´

ll´ (k4k7k1x+(k4k7k2y+k1k7k5y)+(k4k7k3z+k1k7k6z)=k4k7h+k1k7u)

lll´ -(k1k4k7x+k1k4k8y+k1k4k9z=k1k4v)

lll´´ (k4k7k2y+k1k7k5y-k1k4k8y)+(k4k7k3z+k1k7k6z-k1k4k9z)=k4k7+k1k7u-k1k4v

Nun könnte man noch jeweils y und z ausklammern, aber dann?

Leider komme ich hier nicht mehr weiter ohne gegen Rechenregeln zu verstoßen (hoffe ich habe das bis jetzt nicht).

Es wäre wirklich super wenn mir jemand sagen könnte wie es weiter gehen könnte.

Bitte verständlich und einfach erklären auf einen Schüler der Mittelstufe zugeschnitten.

Antwort
von poseidon42, 24

Betrachte folgendes lineares LGS:

1) ay(1) + by(2) + cy(3) = x(1)

2) dy(1) + ey(2) + fy(3) = x(2)

3) gy(1) + hy(2) + iy(3) = x(3)

Sei  k*a = d und l*a = g

--> 2) - k* 1) und --> 3) - l* 1):

Daraus folgt nun ausgerechnet:

1) ay(1) + by(2) + cy(3) = x(1)

2) 0 + (e-kb)y(2) + (f-kc)y(3) = x(2) - kx(1)

3) 0 + (h - lb)y(2) + (i-lc)y(3) = x(3) - lx(1)

Sei m*(e-kb) = h-lb

--> 3) - m* 2):

Daraus folgt ausgerechnet:

1) ay(1) + by(2) + cy(3) = x(1)

2) (e-kb)y(2) + (f-kc)y(3) = x(2) - kx(1)

3) (i - lc - m(f-kc))y(3) = x(3) - lx(1) - m(x(2) - kx(1))

Sei nun j*(i-lc-m(f-kc)) = c 

Und sei n*(i - lc- m(f-kc)) = f-kc 

--> 2) - n* 3) und 1) - j* 3):

Daraus folgt ausgerechnet:

1) ay(1)+by(2) = x(1)-j(x(3)-lx(1)-m(x(2)-kx(1))

2) (e-kb)y(2) = x(2)-kx(1)-n(x(3)-lx(1)-m(x(2)-kx(1)))

3) (i - lc - m(f-kc))y(3) = x(3) - lx(1) - m(x(2) - kx(1))

Und sei nun zuletzt v*(e-kb) = b

--> 1) - v* 2):

Daraus folgt ausgerechnet:

1) ay(1) = x(1)-j(x(3)-lx(1)-m(x(2)-kx(1))-v(x(2)-kx(1)-n(x(3)-lx(1)-m(x(2)-kx(1))))

 2) (e-kb)y(2) = x(2)-kx(1)-n(x(3)-lx(1)-m(x(2)-kx(1)))

3) (i - lc - m(f-kc))y(3) = x(3) - lx(1) - m(x(2) - kx(1))

Den Rest solltest du alleine schaffen.

Übrigens, falls gilt:

aei+bfg+cdh-gec-hfa-idb = 0 

Existiert keine eindeutige Lösung für dein Gleichungssystem.

Kommentar von AnonyJS ,

Vielen Dank.

Kommentar von AnonyJS ,

Könntest Du noch auf meine Rechnung eingehen? (Wo liegt mein Denkfehler usw.)

Kommentar von poseidon42 ,

Der Ansatz und die Idee hinter dem Umformen ist schon korrekt, eines deiner Hauptprobleme ist aber, das du an der ein oder anderen Stelle mit 0 multiplizieren könntest, das wiederum würde dir eine gesamte Gleichung "killen". Sobald du also anfängst Gleichungen "äquivalent" umzuformen geht multiplizieren und dividieren mit allgemeinen Koeffizienten nicht mehr ohne weiteres, da man mit 0 multiplizieren könnte oder durch 0 dividieren könnte. An solchen Stellen muss man dann Fallunterscheidungen machen, was in diesem Fall einfach zu viele wären. Ich hingegen habe stets nur Vielfache abgezogen, also die Gleichungen nur durch Addition/Subtraktion direkt verändert, dabei können einem dann allgemeine Koeffizienten egal sein. Deshalb hab ich auch nie nach den Vielfachen aufgelöst, und am Ende auch nicht dividiert, da dies dann wieder Fallunterscheidungen nötig macht. Dies bedeutet im Endeffekt, dass der größte Teil der Arbeit noch nicht erledigt ist, falls du eine wirklich vollständig allgemeine Lösung haben willst. Dazu ein kurzes Beispiel bezüglich Fallunterscheidungen:

ab + bc = 3

(a+c)b = 3

a + b = 3/b ist für b = 0 nicht definiert, daher muss eine Fallunterscheidung durchgeführt werden:

b=0:

0 = 3 ---> Widerspruch, keine Lösung für b = 0

b ungleich 0:

a+c = 3/b 

--> Theoretisch mehrere Lösungen denkbar, ist abhängig von der Definition von a und c, sowie b, mit b ungleich 0.

Kommentar von AnonyJS ,

Okay, danke. Als ich gestern nochmal meinen Weg durchgegangen bin habe ich noch 2 z mit Koeffizienten eliminieren können, doch bei dem letzten dritten bin ich stehen geblieben bzw. habe mich im Kreis gedreht. Vielen Dank für Deine Korrektur. Jetzt muss ich nur noch Deine Herleitung "übersetzen" und verstehen, danke.

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