Frage von Mido1234, 77

Brauche Hilfe bei der Extrempunktberechnung?

f(x)=2x^3-9x^2+12x

Expertenantwort
von everysingleday1, Community-Experte für Mathematik, 24

Gegeben sei die Funktion f mit

f(x) = 2x³ - 9x² + 12x.

Zur Berechnung der Extrempunkte des Graphen von f ist die notwendige Bedingung

f '(x) = 0 und die hinreichende Bedingung

f ''(x) < 0 oder f ''(x) > 0 zu erfüllen.

Wir leiten daher die Funktion f zweimal ab.

Es ist

f '(x) = 6x² - 18x + 12

und

f ''(x) = 12x - 18.

Die Kandidaten für mögliche Extremstellen, genauer gesagt: die Stellen, für die der Graph von f eine waagerechte Tangente besitzt, erhalten wir mit der notwendigen Bedingung f '(x) = 0:

6x² - 18x + 12 = 0,

x² - 3x + 2 = 0,

(x-1) (x-2) = 0.

Die Stellen x, für die der Graph von f eine waagerechte Tangente besitzt, sind also

x1 = 1 und x2 = 2.

Diese Bedingung reicht jedoch nicht aus, denn es kann auch Punkte geben, in denen es eine waagerechte Tangente gibt, die aber dennoch keine Extrempunkte sind - so genannte Sattelpunkte.

Wir prüfen daher die hinreichende Bedingung, indem wir unsere berechneten Stellen x1 und x2 in die zweite Ableitung einsetzen.

Es ist f ''(x1) = f ''(1) = 12 - 18 = -6 < 0

und f ''(x2) = f ''(2) = 24 - 18 = 6 > 0.

Da der Wert der zweiten Ableitung jeweils von 0 verschieden ist, gibt es in der näheren Umgebung von x1 = 1 und x2 = 2 jeweils einen Monotoniewechsel.

Nun erinnern wir uns daran, dass ein negativer Wert der zweiten Ableitung eine Rechtskurve und ein positiver Wert auf eine Linkskurve bedeutet.

Somit erhalten wir das lokale Minimum f(2) und das lokale Maximum f(1).

Abschließend berechnet man noch die Funktionswerte, also die y-Koordinaten der Extrempunkte.

Es ist f(1) = 2 - 9 + 12 = 5

und f(2) = 16 - 36 + 24 = 4.

Endergebnis: H(1|5), T(2|4)

Kommentar von Mido1234 ,

Ich komme hier nicht weiter : f(x)= x^3+6x^2-15x-2 f'(x)= 3x^2+12x-15 f'(xE)= 3x^2E+12xE-15= 0 /:3 f'(xE)= x^2E + 4xE -5 =0

Kommentar von everysingleday1 ,

f(x)= x³+6x²-15x-2

f '(x) = 3x² + 12x - 15,

f '(x) = 0,

0 = 3x² + 12x - 15,

0 = x² + 4x - 5

Möglichkeit1: Satz von Vieta

0 = (x+5) (x-1)

x1 = 1 ... x2 = -5

Möglichkeit2: pq-Formel

x = -p/2 +- Wurzel( (p/2)² - q ) mit p = 4 und q = -5

x = -2 +- Wurzel( 2² + 5 )

x = -2 +- Wurzel( 4 + 5 )

x = -2 +- 3

x1 = 1 ... x2 = -5

Kommentar von Mido1234 ,

Vielen Dank hat mir weitergeholfen

Kommentar von Mido1234 ,

Was mache ich jetzt um den tief und hochpunkt herauszufinden

Expertenantwort
von KDWalther, Community-Experte für Mathematik, 9

Bislang hast Du herausgefunden:

An den Stellen x = -5 und x = 1 liegt jeweils eine waagerechte Tangente vor (Steigung 0) [Die Ergebnisse von everysingleday1 sind richtig.]. Dies sind also die beiden einzigen Stellen, die als (lokale/relative) Extremstellen in Frage kommen.

Nun musst Du noch prüfen, ob hier tatsächlich Extremstellen sind. Dies macht macht meist, indem man die gerade errechneten x-Werte in die zweite Ableitung von f einsetzt. Kommt ein Wert heraus, der nicht 0 ist, ist der Graph an dieser Stelle gekrümmt. Gilt f´´(xE) > 0, hat der Graph eine Linkskrümmung; daher muss es sich um ein rel. Minimum handeln. Gilt f´´(xE) < 0, hat der Graph eine Rechtskrümmung; daher muss es sich um ein rel. Maximum handeln.

[Alternativ: Du überprüfst mit der ersten Ableitung, wie das Steigungsverhalten links und rechts der beiden Stellen ist.]

Hast Du herausgefunden, dass es sich tatsächlich um Extremstellen handelt, fehlt dann noch die Berechnung der y-Werte, damit Du die Extrempunkte angeben kannst.

Zur Kontrolle: H(-5|98), T(1|-10).

Antwort
von Phippe, 26

f(x)=2x^3-9x^2+12x

f'(x)=6x^2-18x+12=0

x1,x2=(18±sqrt((-18)^2-4*6*12))/(2*6)

x1=1, x2=2

f(1)=5 --> P1(1, 5)
f(2)=4 --> P2(2, 4)

Ich hoffe mal, dass das so stimmt, hab's nicht mit dem Rechner überprüft.

Kommentar von Mido1234 ,

Danke und ja es stimmt

Kommentar von Phippe ,

Und hier kannst du auch immer deine Lösungen überprüfen:
http://www.wolframalpha.com/

Kommentar von Mido1234 ,

Was machst du mit den Zahlen die aus der pq Formel herausgekommen sind also x1=1 und x2= 2

Kommentar von Phippe ,

Ich setze diese in die Gleichung der Kurve ein (nicht die abgeleitete) und berechne somit den y-Wert des Punktes (ich habe ja erst den x-Wert).

Kommentar von Mido1234 ,

Was ist sqrt ?

Kommentar von Phippe ,

Wurzel

Kommentar von Mido1234 ,

Danke :)

Antwort
von DarkScammer321, 38

1. Ableitung von der Funktion f(x) erstellen.

2. Die Ableitung =0 setzen.

3. Umformen.

4. PQ-Formel benutzen und ausrechnen.

Antwort
von tonijelovic, 26

Ja leite das doch ab!

Kommentar von Mido1234 ,

habe ich

Kommentar von Mido1234 ,

und dann ?

Antwort
von kjklol, 28

Ich glaube man muss die Ableitungsfunktion bilden und dann berechnen an welchen stellen sie den Wert 0 animmt.

Kommentar von Mido1234 ,

könnte vllt jemand die Aufgabe bitte einmal vollständig lösen damit ich weiß wie das geht. Ich hab noch 10 solcher aufgaben .

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