Frage von Bilbil2015, 36

Brauche Hilfe bei der Bildung der 3. Binomischen Formel?

Stehe seit zwei Tagen vor einer Mathe Aufgabe die ich nicht lösen kann. Hab mir schon diverse videos angeschaut und Foren durchgestöbert. Bei der Aufgabe ist der Grenzwert lim x->0 für die Fit wurzel(1+x)-1/x gesucht. Laut Lösung muss man den Ausdruck mit wurzel(1+x)+1 erweitern und erhält am ende das Ergebnis 1/2. Leider weiss ich nicht wie man nach dem erweitern auf das Ergebnis kommt.

Danke

Expertenantwort
von Ellejolka, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 24

meinst du

(wurzel(1+x) - 1 ) / x

dann erweitern mit 3. Binom ergibt:

(1+x-1)/x = x/x = 1 bei mir.

Kommentar von FataMorgana2010 ,

Öhm... den Nenner solltest du beim Erweitern auch mitnehmen... :-)))

Kommentar von Ellejolka ,

 da hast du allerdings recht!

dann kommt auch 1/2 raus.

Kommentar von Rhenane ,

Die Wurzel im Nenner hast Du vergessen
=x/(x*Wurzel(1+x)+1)=1/(Wurzel(1+x)+1)
Dann ergibt x gegen 0: 1/(Wurzel(1)+1)=1/2

Antwort
von FataMorgana2010, 23

Erstmal setze bitte die  Klammern richtig, es ist recht mühsam. JEtzt steht da

√(1+x) - 1/x, d. h. du hast hinten -1/x stehen, und das meinst du wohl nicht. 

Also 

f(x) = (√(1+x) - 1)/x. 

Wenn du mit (√(1+x)+1) erweiterst, dann hast du 

f(x) = (√(1+x) - 1) * (√(1+x) + 1) / (x * (√(1+x) + 1))

Der Ausdruck 

(√(1+x) - 1) * (√(1+x) + 1)

ist ein Fall für die dritte binomische Formel, die besagt ja

(a-b)(a+b) = a² - b²

In diesem Fall ist a = √(1+x) und b = 1. 

d. h. 

(√(1+x) - 1) * (√(1+x) + 1) = √(1+x)² - 1 = 1+x - 1 = x. 

Das kannst du oben wieder einsetzen: 

f(x) = x / (x * (√(1+x)+ 1))

das x kannst du kürzen

f(x) = 1 / (√(1+x) + 1))

Jetzt kannst du für x 0 setzen, da der Nenner jetzt ja nicht mehr 0 wird

lim x -> 0 f(x) = 1 /(√(1+0)+ 1)) = 1 / 2

Kommentar von Bilbil2015 ,

Besten danke sehr gute Antwort

Antwort
von PapstPeinlich, 36

Also kann dir nicht die Lösung sagen aber einen Ansatz.

Schau mal wie man eine Wurzel noch schreiben kann, als Bruch.

also Bruch im Exponenten

Antwort
von JohannesGolf, 29

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