Frage von sophieeeabc, 81

Brauche dringend hilfe: kann mir jemand die durchschnittliche Steigung, die momentane Steigung, die Tangentensteigung und die sekantensteigung erklären?

Hallo leute.. Meine frage steht ja bereits oben.... Ich bin die ganze zeit schon am lernen aber hier komme ich einfach nicht weiter... Ich schreibe nächste Woche eine Klausur in mathe und wäre euch echt dankbar wenn ihr mir das erklären könntet. MfG

Expertenantwort
von Volens, Community-Experte für Mathe, 46

Das ist eine doppelt genähte Frage, denn die Tangentensteigung ist die momentane
und die Sekantensteigung ist eine durchschnittliche.

Die Steigung der Tangente im Berührpunkt ist dann eben die momentane Steigung. Man erhält sie, wenn man die Gleichung der Tangente ausrechnet.                y = mx + b                  Dann ist m diese Steigung.

Legst du zwei Punkte fest, bekommst du die durchschnittliche Steigung zwischen ihnen. Dafür eignet sich am besten die Zweipunkteform der Geraden, aus der man   y = mx + b   herausrechnen kann. Schlussfolgerung wie oben; doch m ist jetzt die durchschnittliche Steigung.


Kommentar von sophieeeabc ,

Ja ich wusste dass meine frage doppelt gemoppelt war aber ich wusste eben nicht welches ich zu welchem zuordnen musste. dank dir weiß ich schon viel mehr, Dankeschön :)

Kommentar von Volens ,

Freut mich, wenn ich dir helfen konnte. Sollte eine gezielte Frage bei dir auftauchen, wie z.B. die Zweipunkteform bearbeitet wird (die Formel steht in der Formelsammlung) oder was Punktrichtungsform zu besagen hat, schreib einen Kommentar.
Du brauchst die Antwort ja nicht unbedingt in wenigen Minuten, wenn die Arbeit erst nächste Woche ist.
Morgen gucke ich gelegentlich bei GF rein.
Und es gibt auch andere, dir dir gern helfen.

Kommentar von sophieeeabc ,

Wow, vielen dank ich melde mich falls fragen auftauchen sollten :) danke nochmals!! 

Kommentar von sophieeeabc ,

Die sekantenateigung habe ich drauf aber bei der tangentensteigung brauche ich hilfe. Ich verstehe die h Methode einfach nicht. 

Kommentar von Volens ,

Es hilft jetzt kein bisschen, wenn man dir erzählt, man brauche nur abzuleiten. Denn die h-Methode ist ja genau die, die danach die Ableitung erklären soll. Da muss man leider durch, denn später wird dieses h nie wieder zurückkommen.

Das kann man am besten an einem Beispiel erklären. Schreib also mal, für welche Funktion ihr die Steigung ermitteln sollt, sonst müsste ich mir eine ausdenken. Mehr hast du, glaube ich, davon, wenn ich es dir an einer deiner Aufgaben zeige.

Kommentar von sophieeeabc ,

Z.B x^3 und das andere -x^2+3x

Kommentar von Volens ,

Ich verstehe es so, eine Aufgabe heißt     f(x) = x³
und die andere                                          f(x) = -x² + 3x

Kommentar von sophieeeabc ,

Genau

Kommentar von Volens ,

Ich zeige es für       f(x) = x³
Das dauert einen Augenblick, weil ich parallel noch anderes tue.

Kommentar von Volens ,

Wir haben hier immer das Problem des Editors, mit dem man manche Sachen nicht so gut schreiben kann. Deshalb führe ich lim so spät wie möglich ein.

Was wir wissen wollen, ist, was passiert, wenn die Steigung der Sekante in die einer Tangente übergeht, weil man bei einem Wert x einen Wert h auf dies x zurücken lässt. Die Funktionswerte verändern sich in dem Maße, dass die y-Differenz zu
f(x + h) - f(x) wird, während h den Nenner für diesen Differenzenqotienten liefert. Somit ist die Steigung der Sekante gut beschrieben mit
(f(x+h) - f(x)) / h

Nun ist f(x) = x³
Für den Diffenzenquotienten bedeutet das

((x+h)³ - x³) / h  = (x³ + 3x²h + 3h²x + h³ - x³) / h
                         =        (3x²h + 3h²x  + h³)  / h
                         =  3x²h /h  +  3h²x /h  + h³ /h
                         =  3x²        +  3hx       + h²

Nun kommt das mit dem Limes. Wenn ich schreibe

lim  (3x² +  3hx + h²) für h -> 0   (weil h immer kleiner wird),
gehen alle Terme, die h enthalten, auch gegen Null.

Es bleibt 3x²      und das nennt man in Zukunftt die Ableitung von x³.

f(x)   = x³
f '(x) = 3x²

---

Vielleicht bekommst du es für die andere Funktion selbst heraus. Du musst die Terme einzeln betrachten und zusammen behandeln.
Das Ergebnis ist f '(x) = -2x + 3

Kommentar von sophieeeabc ,

Es ist unglaublich nett dass du dir so viel Mühe gegeben hast! aus irgendeinem Grund verstehe ich es trotzdem nicht. Alles kann ich ausser diese h methode.. Ich glaube ich werde es einfach lassen aber trotzdem vielen dank

Kommentar von Volens ,

Nanu, so komplziert es es doch eigentlich gar nicht.
Ganz simpel ist eine Steigung m = Δy / Δx

Das sind die beiden Katheten des Steigungsdreiecks.
Das bedeutet:     m = (y - y1) / (x - x1)

Soweit hast du die Gerade doch sicher im Kopf. Wenn ein Punkt nun auf einer Paralbel auf einen anderen zurück, verändert sich jeweils auch das Steigungsdreieck. Am besten machst du dir mal eine kleine Skizze.

Der Zähler ist der eine y-Wert minus dem anderen. Bei x genauso.

(x - x1) ist aber genau unser h, das da kleiner wird. Dann ist
                   m = (y - y1) / h

Jeder von x1 verschiedene Wert ist doch dann (x+h), etwas vereinfach dargestellt. Das heißt auch:

Für y haben wir anzubieten: ein y an der Stelle x            f(x)
                                      und ein y an der Stelle (x+h)      f(x+h)

Die Funktion heißt x³.
Somit ist ein y     genau    x³
das andere  y      eben     (x+h)³ = x³ + 3x²h + 3h²x + h³
                                      Das kann man ja ausrechnen

Wenn man dann im Zähler subtrahiert (siehe die Untersuchung vorhin) hebt sich x³ heraus, und was übrigbleibt, ist die Ableitung, wenn man dann noch h gegen 0 laufen lässt.

Ich mache dir das morgen Nacht auch nochmal für die andere Funktion.

Kommentar von sophieeeabc ,

Ich habe es doch verstanden 😍

Kommentar von Volens ,

Na, prima!

Expertenantwort
von fjf100, Community-Experte für Mathe, 33

Die "Sekantensteigung" ist der "Differenzenquotient".

"Sekante"= eine Gerade durch 2 Punkte

(de)y/(de)x=(y2 -y1)/(x2 - x1)= (f(x2) - f(x1))/(x2 - x1)=Sekantensteigung

(de) griechischer Buchstabe "Delta"

dies ist die Steigung einer Geraden,die durch die 2 Punkte P1(x1/y1) und P2(x2/y2) geht.

geht das Intervall (x2-x1) gegen Null,so erhält man den "Diffentialquotienten" dy/dx=f´(x)=Tangentensteigung

f´(x) ist die 1.te Ableitung der Funktion f(x) und gibt die Tangentensteigung an jeden beliebigen Punkt an der Funktion f(x) an

Beispiel : f(x)= 3 *x^2 abgeleitet f´(x)= 6 * x

Tangentensteigung an der Stelle x=3  f´(3)=6 * 3= 18

bei x=3 ist die Tangentensteigung m=18

tan(a)=Gk/Ak=m=18 ergibt (a)= arctan(18)=86,82° Dies ist der Winkel zwischen der Tangente und der x-Achse 

Kommentar von sophieeeabc ,

Omg vielen dank für diese Mühe,  die sekantensteigung habe ich glaube ich drauf aber bei der tangentensteigung müssen wir die h methode anwenden und da hakt es immernoch bei mir

Kommentar von fjf100 ,

Die h - Methode ist nur Nerverei für die Schüler und eine Beschäftigungstherapie für die Lehrer.

Beispiel : f(x)= x^2 abgeleitet nach der "Potenzregel" f´(x)=2 *x

siehe Mathe-Formelbuch Kapitel "Differentationsregeln/ elementare Ableitungen"

mit der h-Methode :

Differenzenquotient 

(de)y/(de)x=(y2 -y1)/(x2 -x1)=f(x2) -f(x1)/(x2-x1)

(de) griechischer Buchstabe "Delta"

x1+h= x2 ergibt h=x2-x1
(de)y/(de)x= f(x+h) - h(x)/h

f(x+h)= (x+h)^2=x^2 + 2*h *x +h^2

(de)y/(de)x=(x^2 + 2 *h * x + h^2) /h - x^2/h

       "         = x^2/h + 2 * x + h - x^2/h=2*x + h mit h gegen Null

            f´(x)= 2 *x + 0= 2*x

dy/dx=f´(x)= 2 * x

Fazit : Diese ganze Rechnerei ist nur Blödsinn und kostet den Steuerzahler pro Jahr Milliarden !

Frage : Sollen nun die Schüler alle Differentationsregeln herleiten ?

Kommentar von Schachpapa ,

"Diese ganze Rechnerei" ist normalerweise in 2 Wochen gegessen.

Damit kann man begründen, warum die Ableitung von f(x) = x^3 eben f'(x) = 3 x^2 ist. 

Andernfalls muss man einfach alles glauben. Dafür gibt es den Religionsunterricht.

Kommentar von fjf100 ,

Das Rad ist schon erfunden ! Wie oft soll das Rad denn noch erfunden werden ?

Die mathematischen Formeln stellen fundiertes Wissen da,was oft genug überprüft wurde.Da brauchen nicht nochmals jedes Jahr hunderttausende von Schülern diese Formeln nochmals herleiten und das alles auf meine Kosten ! 

Deutschland hat die ältesten Studenten und hier werden Milliarden an Steuergelder jedes Jahr verschwendet.

Kommentar von sophieeeabc ,

Und kann mir jetzt jemand helfen?

Kommentar von fjf100 ,

Was ist denn nun dein konkretes Problem ?

Nenne mal ein Aufgabe,die du nicht verstehst !

Kommentar von Schachpapa ,

@sophieeeabc: Volens hat geholfen und du hast es verstanden, Glückwunsch.

@fjf100: Dann kann man sich auch Kongruenzsätze, Pythagoras, Thales usw. schenken. Das alles ist Wissen, das bereits seit mehr als 2000 Jahren bekannt ist. Steht ja auch alles in der Wikipedia.

Wenn man nur anwendet, ohne nach dem Warum zu fragen, lernt man letztlich nur Tastenfolgen auf dem GTR auswendig, die man eine Woche nach der letzten Abiklausur als "unnützes Wissen" vergissen hat.

Mathematisches Denken lernt man dadurch nicht und man weckt auch kein Interesse daran, den Dingen auf den Grund zu gehen.

Warum sollte man in Chemie Säuren und Basen aus Reagenzgläsern zusammenkippen, wo doch nur die großtechnischen Anwendungen das Geld bringen?

Oder in Physik Fallversuche machen?

Antwort
von Laraib99, 36

Wenn du die Tangentensteigung haben willst, leitest du die gegebene Funktion ab und formst die abgeleitete Funktion mithilfe der Äquivalenzumformung um, sodass du auf der einen Seite ein x und auf der anderen Seite eine Zahl hat.

LG

Antwort
von Schachpapa, 27

Das ist der Stoff von ein paar Wochen. Was genau willst du wissen? Wenn du schon seit Stunden lernst, wird ja wohl irgendetwas da sein.

Kommentar von sophieeeabc ,

Ich lerne seit Stunden aber nicht dieses thema... 

Antwort
von HansDampf00, 56

Y= M×X+t <--nur einsetzen, sehr leicht zu verstehen, im Schulbuch findest du passende bsp

Kommentar von sophieeeabc ,

Die Themen sind doch viel aufwändiger und komplexer als die lineare Funktion 

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