Frage von TimS97, 96

Brauche dringend Hilfe beim lösen dieser Matheaufgabe!?

(f) Lösen Sie die Gleichung durch Substitution:

81sin^4(x)−45sin^2(x)+4=081sin4(x)-45sin2(x)+4=0

Wählen Sie die beiden kleinsten positiven Lösungen.

Danke schonmal im Vorraus.

Antwort
von poseidon42, 20

81sin^4(x)−45sin^2(x)+4 = 0 

Sei z = sin²(x)

---->   81z² - 45z + 4 = 0  

pq-Formel anwenden:

--> z(1) = 45/162 + [ (45/162)² - 4/81]^(1/2)

     z(2) = 45/162 - [ (45/162)² - 4/81]^(1/2)

und damit:

z(1) = 4/9

z(2) = 1/9

Also durch Resubstitution folgt also:

sin²(x) = 4/9   oder   sin²(x) = 1/9 

Auf beiden Seiten nun die Quadratwurzel ziehen:

sin(x) = +/-  2/3    oder     sin(x) = +/-  1/3

Dies kann man nun mit der Umkehrfunktion vom Sinus lösen, dem arcsin:

--> x(1) = arcsin(2/3) = ca. 0.73  (Rad)

---> x(2) = arcsin(-2/3) = -0.73  (Rad)

----> x(3) = arcsin(1/3) = ca. 0.34 (Rad)

-----> x(4) = arcsin(-1/3) = ca. -0.34 (Rad)

Da jedoch gilt:

sin(x) = sin(pi - x)   folgt, dass es jeweils noch 4 weitere Lösungen gibt, mit:

x(5) = pi - x(1) = ca. 2.41  (Rad)

x(6) = pi - x(2) = ca. 3.87  (Rad)

x(7) = pi - x(3) = ca. 2.8  (Rad)

x(8) = pi - x(4) = ca. 3.48  (Rad)

Damit existieren also 8 Lösungen für diese Gleichungen für:  0 <= x  <  2pi

Ist eine der Lösungen kleiner als 0, zum Beispiel x(2) = -0.73 , so kann eine dem Intervall entsprechende Lösung gefunden werden durch addieren von 2pi, da ja gilt:   sin(x) = sin(x + 2pi)

----> bei x(2) zum Beispiel:  x(2) = 2pi - 0.73 = ca. 5.55  (Rad)   <  2pi

oder bei x(4) dementsprechend:  x(4) = 2pi - 0.34 = ca. 5.94  (Rad)  < 2pi

Hier ein Link zu der Funktion:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=f%28x%29+%3D+81sin^4%28x%29%E2%88%9245sin^2%28x%29%2B4

Dort ist ebenfalls zu erkennen, dass es 8 Lösungen geben muss, die oben genannten.

Zu guter letzt noch die Umrechnung vom Bogenmaß (Rad) in Grad  (Degrees):

(b/2pi)*360 = k     mit  b in Bogenmaß   und   k  in Grad

Expertenantwort
von MeRoXas, Community-Experte für Mathe, 22

sin(x) sei z.

81z^4-45z²+4=0

Sei nun u=z²

81u²-45u+4=0 | :81

u²-0.555u+0.049382716=0 | P/Q-Formel

u1=4/9

u2=1/9


Nun wieder auf z umformen, das kannst du bestimmt selber. Du erhältst 4 Ergebnisse für sin(x).


Nun folgt die Rücksubstitution.

Nutze hierzu den Arcussinus, um die x-Werte zu erhalten.


Edit: Du kannst natürlich auch direkt z=sin²(x) setzen, aber ich finde es mit den Einzelschritten etwas verständlicher.

Antwort
von YStoll, 60

Soll 81sin4(x) etwa 81 * sin⁴ (x) heißen? 

Tipp: sin² (x) substituieren.
Quadratische Gleichungen lösen kannst du, oder?

Kommentar von TimS97 ,

Ja schon, aber ich bekomme die Aufgabe ohne Taschenrechner nicht hin, der liegt 200km entfernt Zuhause

Kommentar von YStoll ,

An welcher Stelle genau kommst du denn nicht weiter?

Das Internet bietet auch tolle Taschenrechner, beispielsweise Wolfram Alpha.

http://www.wolframalpha.com/

Kommentar von TimS97 ,

und das * zwischen der 81 und sin ist überflüssig deswegen hab ich es nicht geschrieben. Und ich hab extra ^4 geschrieben weil mein pc die kleine Vier nicht hat.

Kommentar von YStoll ,

Das stimmt.

Hatte die linke Seite erstmal komplett übersehen...

Kommentar von TimS97 ,

Danke für den Tipp :)
Ich hab eine Lösung, nur denke ich dass die falsch ist.
In den Büchern von der Uni wird leider nicht mehr alles so erklärt wie in der Schule :/

Kommentar von YStoll ,

Was ist denn deine Lösung?

Kommentar von TimS97 ,

hab mein fehler erkannt...muss erst durch 81 teilen wenn ich die pq formel anwenden will...hab das ganz vergessen ._.

Kommentar von YStoll ,

Hier brauchst du die nicht umbedingt:

(a*u+b)*(a*u+c) lässt sich mit ganzen a, b und c zu 81u² - 45u + 4 umformen...

Kommentar von fjf100 ,

TIPP : besorge dir auf jeden Fall einen Graphikrechner (Casio).Mit solch einen Rechner,löst du jede Aufgabe.der Schwirigkeitsgrad spielt dabei keine Rolle mehr und es geht viel schneller,als im Internet.

Mit einen 70 Euro Rechner,kannst du eine komplette Kurvendiskussion durchführen.

Expertenantwort
von Ellejolka, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 33

81u² - 45u + 4 = 0 dann durch 81 und pq-Formel

Kommentar von TimS97 ,

danke :)

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