Frage von ProMaNu, 45

Bräuchte nochmal eure Hilfe bei zwei Mathe Aufgaben?

  1. ln(x) -ln(2x-2) = 2 | ln kriegt man ja über das "e" weg, aber wie verhält sich dies, wenn ein Term im ln steht?

mein Lösungsansatz: . ln(x) -ln(2x-2) = 2 | e x - 2x -2 = 2 -x -2 = 2 | + 2 | :(-1) x = -4

  1. Aufgabe

log(x²+100) = 1 + log(2x) | es ist nicht angeben welcher log, daher ist einer 10 log, oder?

log(x²+100) = 1 + log(2x) |^10

x²+100 = 10^1 + 2x

x²+100 = 10 + 2x | -10 x² + 90 = 2x | -2 x²-2x + 90 = x

Das nun in die Mitternachtsformel? Stimmt dies?

Vielen Dank für eure Hilfe!

Expertenantwort
von Willy1729, Community-Experte für Mathe, 11

Hallo,

die Stammfunktion von f(x)=ln(x) ist F(x)=x*ln(x)-x+C

Die Stammfunktion von ln(2x-2) bekommst Du durch Substitution heraus.

(2x-2)=z

dz/dx=2

dx=1/2=0,5

F(z)=0,5*(z*ln(z)-z)=0,5z*(ln(z)-1)

Rücksubstitution:

0,5*(2x-2)*(ln(2x-2)-1) 

Wenn Du 2x-2 in 2(x-1) umwandelst, bekommst Du die 0,5 weg:

(x-1)*(ln(2x-2)-1)

So erhältst Du insgesamt:

F(x)=x*(ln(x)-1)-(x-1)*(ln(2x-2)-1)+C

log(x²+100)=log(2x)+1

x²+100=10^(log(2x)+1)=10^(log(2x)*10=2x*10=20x

x²-20x+100=0 (Binom)

(x-10)²=0

x=10

Herzliche Grüße,

Willy

Expertenantwort
von KDWalther, Community-Experte für Mathe, 7

Die Grundidee, dass Du die Umkehrfunktion zum Logarithmus anwenden musst, um die Gleichung zu lösen, ist auf jeden Fall richtig.##

Nur haben sich dann mehrere Fehler eingeschlichen. Ich nehme mir mal die erste Aufgabe vor.

ln(x) -ln(2x-2) = 2  |  e^( )    Hier musst Du den gesamten Term "hochnehmen"
e^[ln(x) -ln(2x-2)] = e^2   | Potenzgesetz!
e^[ln(x)] : e^[ln(2x-2)] = e²    | Jetzt die Umkehrfunktioneigenschaft ausnutzen
   x       :   (2x - 2)     = e²    | · (2x - 2)
   x  = e² · (2x - 2)

Nun kommst Du wohl alleine weiter.

Außerdem hast Du bei Deinen Lösungen mehrere Klammern vergessen. So hätte es bei der ersten Aufgabe nach der ersten Umformung heißen müssen:
x - (2x -2) = 2
Dadurch haben sich weitere Fehler eingeschlichen.

Die zweite Aufgabe gehr nach demselben Prinzip, nur eben mit 10^( ), wie Du richtig geschrieben hast. (Ich kenne den 10er-log als "lg".)

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