Frage von Mertyrer, 52

Trigonometrie - Wie kommt man zu den Ergebnissen?

Bitte um Hilfe, und um Erklärung(Weg) wie man zu den Ergebnissen kommt.

Vielen Dank im Voraus!!!

Expertenantwort
von KDWalther, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 52

Trigonometrie

Auch hier von mir eine eigene Skizze: in grün sind die gegebenen Größen, in rot/rötlich die gesuchten. Das macht das Ganze übersichtlicher.

I) Im Dreieck ABD kennst Du zwei Seiten und den Winkel, der einer Seite gegenüber liegt. Das schreit nach dem sinus-Satz:

sin delta1 / sin alpha = a / f
=>  sin delta1 = a / f · sin alpha = 7 / 10 · sin 95 = 0,697336
=>  delta1 = 44,21°

[Der zweite Winkel, der diese Gleichung löst, nämlich 180 - 44,21 = 135,79, kommt nicht in Frage, da die Winkelsumme sonst über 180° liegt.]

Nun kann ich beta1 berechnen: beta1 = 180° - 95° - 44,21° = 40,79°

Und nun - wieder mit dem sinus-Satz - lässt sich d berechnen:

d / f = sin beta1 / sin alpha
=>  d = sin beta1 / sin alpha · f = sin 40,79 / sin 95 · 10 = 6,56 [cm]

II) Es gibt da eine Formel, die ist hier prima anwendbar. In Worte gekleidet: Die Fläche eines Dreiecks ist 1/2 mal das Produkt zweier Seiten mal sin des eingeschlossenen Winkels.
Man kennt a, d und alpha. Einsetzen:

A = 0,5 · 7 · 6,56 · sin 95 = 22,86 [cm²]

III) Gleiches gilt für das Dreieck BCD:

22,86 = 0,5 · 6 · 10 · sin beta2
<=>  22,86 / 30 = sin beta 2
<=>  0,762113 = sin beta2
<=>  beta2 = 49,65° oder beta2 = 180° - 49,65° = 130,35°

Betrachtet man f als Grundseite des Dreiecks BCD, dann haben die beiden Punkte C1 und C2, die zu den beiden Winkeln beta gehören, von f denselben Abstand. Also erhält man zwei Dreiecke mit der Grundseite f und derselben Höhe. Diese Dreiecke haben unterschiedliches Aussehen (sind nicht kongruent), haben aber denselben Flächeninhalt.

Kommentar von KDWalther ,

Wenn noch Rückfragen sind: bitte melden.

Ansonsten drücke ich für nachher die Daumen!!!

Kommentar von Mertyrer ,

Ich kann mich nicht oft genug bedanken, Vielen Dank für die Hilfe!!

Kommentar von KDWalther ,

Wenn ich damit eine mathematische Seele glücklich gemacht habe... :-)))

Kommentar von KDWalther ,

Und -  wie ist's gelaufen?

Kommentar von TSoOrichalcos ,

mit welchem Programm hast du das gemacht wenn ich fragen darf?

Kommentar von KDWalther ,

Solche Zeichnungen erstelle ich fast nur noch mit GeoGebra; macht zwar nicht alles so, wie ich es mir wünsche, kommt meinem Ideal aber ziemlich nahe :-)

Kommentar von TSoOrichalcos ,

Vielen Dank ich suche schon lange nach einem Programm mit dem man anständige Skizzen zeichnen kann.

Expertenantwort
von everysingleday1, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 34

k: (x+1)²+(y-3)²=10,

g: 3x+y=-10,

a) Die umgeformte Geradengleichung y = -10 - 3x setzt man nun in die Kreisgleichung ein:

(x+1)² + (-10-3x-3)² = 10,

(x+1)² + (-13-3x)² = 10,

x² + 2x + 1 + 169 + 78x + 9x² = 10,

10x² + 80x + 170 = 10,

10x² + 80x + 160 = 0,

x² + 8x + 16 = 0,

(x+4)² = 0,

folglich gibt es nur die doppelte Lösung x = -4, also ist x = -4 die Berührstelle von Kreis k und Gerade g.

b) P(-1|3)

h: y = mx + c, mit m = -1/(-3) = 1/3, denn h ist orthogonal zu g.

h: y = 1/3 x + c. Jetzt setzt man noch den Punkt P ein:

3 = 1/3 * (-1) + c,

3 + 1/3 = c,

10/3 = c,

h: y = 1/3 x + 10/3.

c) Der Punkt P(-1|3) ist aufgrund der obigen Kreisgleichung der Mittelpunkt des Kreises, denn es gilt

M(c|d) ist Mittelpunkt des Kreises mit der Gleichung

(x-c)² + (y-d)² = r².

Da jede Gerade durch den Mittelpunkt eines Kreises den Kreis in zwei Punkten schneidet, ist h eine Sekante.

Kommentar von KDWalther ,

sehr schön!

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