Frage von yanabanana, 88

Bitte löst meine Bruchgleichung ich sitz da schon ewig dran?

Sitze seit 2 Tagen vor dieser Gleichung und komme nicht auf die Lösung, weder von Hand mit quadrieren, noch mit dem GTR. wurzel(12x-4)+wurzel(5x+3)=wurzel(33x-1)

Könntet ihr mir vielleicht den Rechenweg zeigen, damit ich das nachvollziehen kann?

Expertenantwort
von Willibergi, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 27

Das Ziel bei so einer Wurzelgleichung ist es immer, die Gleichung so umzuformen, dass nur noch eine Wurzel vorhanden ist, die du dann mithilfe einer Potenzierung mit 2 einfach auflösen kannst.

Das geht so:

√(5x + 3) + √(12x - 4) = √(33x - 1) 

Zuerst quadrieren wir beide Seiten:

(√(5x + 3) + √(12x - 4))² = 33x - 1

Links können wir die erste binomische Formel anwenden:

5x + 3 + 2√(5x + 3)√(12x - 4) + 12x - 4 = 33x - 1

Kurz zusammenfassen:

5x + 12x + 3 - 4 + 2√(5x + 3)√(12x - 4) = 33x - 1

17x - 1 + 2√(5x + 3)√(12x - 4) = 33x - 1

2√(5x + 3)√(12x - 4) = 16x

Den linken Term können wir zu einer Wurzel zusammenfassen, da die beiden Wurzeln multipliziert werden:

2√((5x + 3)(12x - 4)) = 16x

Ausmultiplizieren:

2√(60x² + 16x - 12) = 16x

Dann durch 2 dividieren, damit die Wurzel alleine steht:

√(60x² + 16x - 12) = 8x

Und jetzt quadrieren, damit die Wurzel eliminiert wird:

60x² + 16x - 12 = 64x²

Jetzt ziehen wir noch 64x² ab:

-4x² + 16x - 12 = 0

Mit der abc- oder pq-Formel erhalten wir:

x₁ = 1; x₂ = 3

Jetzt setzt du noch die beiden Lösungen in die Ausgangsgleichung ein und guckst, ob der Radikand irgendeiner Wurzel negativ wird. Denn dann wäre das keine reelle Lösung.

Das ist aber hier nicht der Fall, also gilt:

IL = {1; 3}

Ich hoffe, ich konnte dir helfen; wenn du noch Fragen hast, kommentiere einfach. 

LG Willibergi

Kommentar von yanabanana ,

Okay habs kapiert, vielen vieeeelen Dank!!!!

Kommentar von Willibergi ,

Gern geschehen! ;)

LG Willibergi

Kommentar von ralphdieter ,

und guckst, ob der Radikand irgendeiner Wurzel negativ wird

richtig, aber das ist nur die halbe Wahrheit.

Du (und alle anderen) würdest für die Gleichung
    √(5x + 3) + √(12x - 4) = -√(33x - 1)
exakt dieselben Lösungen berechnen. Nur haben wir dann:

  •  √8  +  √8  ≠ -√32 ⇒ x=1 ist keine Lösung
  • √18 + √32 ≠ -√98 ⇒ x=3 ist keine Lösung

Also: IL = ∅

Kommentar von Willibergi ,

Das rechte Gleichungsglied hat aber eben kein negatives Vorzeichen.

√8 + √8 = √32 und √18 + √32 = √98

IL = {1; 3}

LG Willibergi

Kommentar von ralphdieter ,

Sodele, jetzt ist die Aufgabe fertig. Kriegst 'ne Eins :)

Kommentar von Willibergi ,

;-))

Antwort
von kindgottes92, 53

Du kannst hier auch nicht einfach so quadrieren. Auf der linken Seite hast du eine Summe, wenn du die quadrierst musst du schön alles ausmultiplizieren.

Einfach die Wurzeln wegstreichen ist da leider nicht. 

Ich nehm mir gleich mal Zettel und Stift und probiers aus, was da raus kommt. Melde mich dann nochmal.

Kommentar von yanabanana ,

Das wäre total nett, vielen Dank

Antwort
von gilgamesch4711, 7

 
2 sqr ( 3 x - 1 ) + sqr ( 5 x + 3 ) = sqr ( 33 x - 1 )  |  ²   ( 1 )

    " Klimbimformel "

  12 x - 4 + 4 sqr ( 15 x ² + 4 x - 3 ) + 5 x + 3 =    ( 2a )

     = 33 x - 1   |  sortieren    ( 2b )

    4 sqr ( 15 x ² + 4 x - 3 ) = 16 x    |  :  4     ( 3a )

   
Ich bin nicht so tolerant wie eure Lehrer; bei mir würds Strafpunkte hageln ohne Ende. Auch Gleichungen sind zu kürzen durch ihren ggt. Du siehst doch bei Dschingis Khan, was passiert, wenn du das nicht machst.

      sqr ( 15 x ² + 4 x - 3 ) = 4 x    |   ²         ( 3b )

      x ² - 4 x + 3 = 0     ( 4a )

       Schau doch mal, was Pappi alles weiß:

https://de.wikipedia.org/wiki/Satz_%C3%BCber_rationale_Nullstellen

   
Der Satz von der rationalen Nullstelle ( SRN ) Wikis Behauptung
allerdings, der SRN gehe auf Gauß zurück, stellt eine infame Lüge dar (
Dein Lehrer hat noch nie vom SRN vernommen; ich stelle mich jeder Zeit
einer Diskussion. ) Der SRN wurde erst 1990 entdeckt; so viel zu der
häufig geäußerten Frage, was passiert, wenn du etwas Grund legend Neues
entdeckst.

   Aber heute will ich mal fertig machen und nicht
polemisieren.  Durch Anwendung des Satzes von Vieta siehst du die
Wurzeln von ( 4a ) im Kopf:

      x1  x2  =  q  =  3    (  4b  )

      Die Primzahl 3 ist in zwei ganzzahlige Teiler zu zerlegen; da gibt es nur eine Möglichkeit

    x1  =  1  ;  x2  =  3     (  4c  )

   Streng genommen ist das Vorzeichen in ( 4bc ) ja noch zweideutig, da

    " Minus Mal Minus " auch Plus ergibt.

    Doch dafür haben wir die cartesische Vorzeichenregel, die selbst den Studenten vorenthalten wird, weil sie so nützlich ist.

    " Zwei Mal Plus "

   ( 4c ) stellt sich als die richtige Wahl heraus.

    Ist ( 4bc ) schon hinreichend? Nein; zu Vieta gehört ja noch die zweite Gleichung

      x1  +  x2  =  p  =  4     (  4d  )   ;  ok

  
   Siehst doch; Dschingis Khan hat auch noch nie vom SRN gehört. Der würde sich gar nicht wundern, wenn eine der beiden wurzeln 4 711 wäre.

      Mir Frankfotter kenne da en gei le Witz über das Verhältnis von Lehrer und Schüler; waaste schon emaa in ===> Dribbdebach geweese? In Sachsehause? Uffn Affetorplatz?

  Sitzt e klaa Äffsche in Urwald uff die Palm. Unn rings kimmt e Riiiese Feuerwalz auf die Palm auf zu. Wie pringt sisch des Äffsche in Sischerheit?

   Ei woher soll's dann des klaa Äffsche wisse, wann's de große Aff net weiß?

  Bei Wurzelgleichungen müsst ihr immer die Probe machen, da Quadrieren
keine ===> Äquivalenzumformung ist; zweimaliges Quadrieren in ( 1;3b )
schon gleich gar nicht.

Expertenantwort
von KDWalther, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 19

Links hast Du das Quadrat einer Summe - das musst Du nach binomischer Formel oder "zu Fuß" ausmultiplizieren.

Klappt es nun?

Expertenantwort
von Willy1729, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 11

Hallo,

√(12x-4)+√(5x+3)=√(33x-1)

Zuerst quadrieren, die linke Seite nach der ersten binomischen Formel
(a+b)²+a²+2ab+b² a=√(12x-4) b=√(5x+3)

12x-4+2*√(12x-4)*√(5x+3)+5x+3=33x-1 

Zusammenfassen und alles bis auf die Wurzeln nach rechts bringen, dabei die beiden Wurzeln unter eine stellen (das geht bei Produkten):

17x-1+2*√[(12x-4)*(5x+3)]=33x-1

2*√[(12x-4)*(5x+3)]=16x

√[(12x-4)*(5x+3)]=8x

Noch mal quadrieren. Da wir diesmal ein Produkt von Wurzeln und keine Summe von Wurzeln mehr haben, bleibt keine Wurzel übrig:

(12x-4)*(5x+3)=64x²

Ausmultiplizieren:

60x²+16x-12=64x²

Zusammenfassen und alles nach rechts bringen, so daß links nur eine Null bleibt:

0=4x²-16x+12

Durch 4 teilen:

0=x²-4x+3

Quadratische Gleichung lösen mit pq-Formel oder durch Faktorisierung:

(x-1)*(x-3)=0

Nullstellen ablesen:

x=1 oder x=3

Herzliche Grüße,

Willy

Antwort
von kindgottes92, 18

Bitteschön 

Kommentar von yanabanana ,

Vielen lieben Dank 😄

Antwort
von Zoetrope1234, 35

Quadrieren und dann nach x auflösen..

Kommentar von sachsii ,

klar, quadrieren bringts links voll xddd

Kommentar von kindgottes92 ,

Eine Summe quadrieren? So einfach ist das nicht, das ist dir schon bewusst, oder?

Antwort
von Dogukann, 21

√(12x-4) + √(5x+3) = √(33x-1) |²

(√(12x-4) + √(5x+3))² = 33x-1

= 12x - 4 + 2 * √(12x-4)*√(5x+3) + 5x+3 = 33x-1

= 17x -1 + 2*√(12x-4)*√(5x+3) = 33x-1

Tipp: √(12x-4)*√(5x+3) = √((12x-4)*(5x+3))

= 17x -1 + 2*√((12x-4)(5x+3)) = 33x-1 |-17x, +1

= 2*√((12x-4)(5x+3)) = 16x |²

= 4(12x-4)(5x+3) = 256x²

= (48x - 16)(5x + 3) = 256x²

= 240x² + 144x - 80x - 48 = 256x²

= 240x² + 64x - 48 = 256x² |-256x²

= -16x² + 64x - 48 = 0 |*(-1)

= 16x² - 64x + 48 = 0 |:16

= x² - 4x + 3 = 0

-> pq-Formel:

x1 = 1
x2 = 3

Gruß

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