Frage von jojo97joss, 37

Binomische Formel rückwärts. Zerlege in Faktoren.?

Binomische Formel rückwärts. Zerlege in Faktoren. ? Kann mir jemand helfen? Ich weiß nicht wie ich mit den Brüchen rechnen soll.

a) 1/4a^2 + ab + b^2.

b) 1/2ab^2 + 4ab + 8a

d) 1/8x^2 + 2x + 8

e) 1/9x^4 + 2x^3 + 9x^2

Vielen Dank :)

Antwort
von Redfoxinside, 37

Brüche oder nicht ist irrelevant.
( a + b )² = a² + 2ab + b²

Bei der Aufgabe a bspw. steht da 1/4a², was aber eigentlich (1/2a)² ist. demnach ergibt sich (1/2a + b)² = (1/2a)² + 2*1/2a*b + b²
= 1/4 a² + ab + b²

Und mit den anderen Aufgaben geht das genauso. Lass dich nicht von den a und b irritieren, das sind einfach nur konstanten. Du musst nur etwas rückwärts denken. Versuchs doch mal bei den Aufgaben b, d und e.

Kommentar von jojo97joss ,

okay vielen dank schon mal ! jedoch verstehe ich nicht warum 1/4a^2 eigentlich /1/2a)^2 ist ?

Kommentar von Redfoxinside ,

In der formel steht ( a + b )² = a² + 2ab + b²Ersetzen wir in der Aufgabe das a doch mal durch ein x und das b durch ein z dann ist es einfacher.
1/4x²  +     xy     +     y²       auf die Formel angewendet
   a²    +   2ab    +     b²       ergibt sich:
a² in der Formel ist 1/4x² aber ich muss ja wenn ich die Binomische Formel anwende das gesamte a quadrieren, bspw:
(5x + 7y)² = (5x)² + 2*5x*7y + (7y)²
a² ist hier also (5x)²
Zurück zur Aufgabe. Hier hat jemand schon ausgeklammert. also brauchst du die Wurzel aus 1/4, damit du weißt, was es vor dem Quadrieren war. Das ist 1/2. Denn (1/2)², bzw 1/2 * 1/2 = 1/4.

Wenn wir jetzt weiter sehen macht auch der zweite Oart, das 2ab =xy sinn, denn 2*1/2*x*y ist 1xy ist xy. Und hinten sehen wir ja, b² = y², das Vieh hat also keinen Vorfaktor.
Ist das Verständlicher geworden?

Antwort
von Neuundgierig, 30

a) 1/4a^2 + ab + b^2
(1/2a + b)^2

Bei den folgenden Aufgaben muss erst (aus jedem einzelnen Summanden) jeweils so viel ausgeklammert werden, dass überhaupt ein Binom entsteht. Dann aus der Summenforn die Potenzform machen. Durch einen Bruch teilen wir, indem wir mit dem Kehrwert multiplizieren:

b) 1/2ab^2 + 4ab + 8a
1/2a • (b^2 + 8b + 16)
1/2a • (b + 4)^2

d) 1/8x^2 + 2x + 8
1/8 • (x^2 + 16x + 64)
1/8 • (x + 8)^2

e) 1/9x^4 + 2x^3 + 9x^2
1/9x^2 • (x^2 + 18x + 81)
1/9x^2 • (x + 8)^2

Expertenantwort
von Ellejolka, Community-Experte für Mathe, 16

hier üben; auch rückwärts.

Kommentar von Ellejolka ,

7m²+28m+28=7(m²+4m+4)=7(m+2)²

d) 1/8x²+2x+8=1/2(1/4 x² + 4x + 16)=1/2(1/2 x + 4)²

Antwort
von ThomasAral, 23

ich machs mal nur mit beispiel aufgaben a) und b)

Zuerst gemeinsamme Faktoren ausklammern

a) keine

b) a

Bei den Summanden mit Quadrat (dieses können auch reine Zahlen sein wie im Fall b), muss man die Wurzel nehmen.

a) wurz(1/4 a^2)  = 1/2 a,   wurz(b^2) = b

b) wurz(1/2 b^2) = 1/wurz(2) b,  wurz(8) = 2*wurz(2)

Nun muss der Mittelteil genau das substituierte mal 2 ergeben oder eben der Mittelteil komplett fehlen. (zur Probe)

a) ab = 2 * (1/2 a) * b ... Probe ok.

b) 4b = 2* (1/wurz(2) * b) * (2 * wurz(2)) ... Probe ok

Vorzeichen des Mittelteils  plus oder minus

a) = ((1/2 a) + b)^2

b) = (1/wurz(2) *b + 2*wurz(2))^2

Im Fall b könnte man jetzt noch den gemeinsamen Faktor wurz(2) rausziehen .. muss aber nicht. Und nicht vergessen den Faktor von oben wieder dazuzunehmen, also:

b) = a*(1/wurz(2) * b + 2*wurz(2))^2

oder

b) = a*wurz(2)* (1/2 b + 2)^2

das letzte ist etwa tricky ... aber die aufgabenstellung wäre auch schon mit dem vorletzten bei b erledigt.

Kommentar von ThomasAral ,

und schon hab ich im letzten (tricky) schritt einen fehler gemacht ...  da der Faktor unter dem ()^2 hoch 2 stand muss er natürlich auch mit hoch 2 rausgezogen werden ... also 

b) a*2* (1/2 * b + 2)^2

Antwort
von ThomasAral, 27

Zur Anmerkung bei der Angabge (Zerlege in Faktoren):  binomische Formeln gibt es in Summenschreibweise oder in Faktorenschreibweise. 

Summenschreibweise:  a² + 2ab + b²     

Faktorenschreibweise:    (a + b) * (a + b)     oder eben  (a + b)²

das war für die 1te binom Formel,  für die anderen analog ... sorry mein Browser erlaubt nicht Kommentare zu Kommentare hinzuzufügen. Muss neue  Antwort geben.

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