Frage von dreamkekzxd, 62

Binome ausrechnen schritt für schritt?

f (x) = xhoch2 - 2x - 3 Wie bekomme ich am ende den Scheitelpunkt raus? Danke

Expertenantwort
von Volens, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 22

Ich denke, Lehrer reagieren nicht sehr erfreut, wenn man die quadratische Ergänzung nicht nimmt. Deine Gleichung ist aber glücklicherweise einfach.

f(x) = (x² - 2x  +         ) -    - 3        Das schreibst du mit Lücken hin.
                                                    Die Lücken werden angeüllt.
                                                   Die nächsten Zeilen nicht neu schreiben!
                                               Als erstes: Halbieren! Quadrieren
                                                    die Zahl vor dem x, dann aufschreiben.
f(x) = (x² - 2x   + 1² )  - 1 -  3          Addierte Zahl sofort wieder subtrahieren.
                                                    In der Klammer Binom basteln
f(x) = (x - 1)²   - 4
                                          Das ist schon die Scheitelpunktgleichung.

Scheitelpunkt S (+1| -4)       die x-Koordinate muss umgedreht werden 

Das Ganze nennt sich Quadratische Ergänzung.    

Expertenantwort
von DepravedGirl, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 10

Das kannst du verallgemeinern -->

y = f(x) = a * x ^ 2 + b * x + c = a * (x - u) ^ 2 + v

u und v lassen sich aus a und b und c berechnen -->

u = -b / (2 * a)

v = (4 * a * c - b ^ 2) / (4 * a)

Der Scheitelpunkt liegt dann bei (u | v)

Der Scheitelpunkt der Parabel ist gleichzeitig auch der Extremwertpunkt.

Ist a > 0, dann ist die Parabel nach oben geöffnet, und der Scheitelpunkt der Parabel ist ein Tiefpunkt (Minimum).

Ist a < 0, dann ist die Parabel nach unten geöffnet, und der Scheitelpunkt der Parabel ist ein Hochpunkt (Maximum).

Angewendet auf dein Beispiel -->

y = f(x) = x ^ 2 - 2 * x - 3

a = 1 und b = -2 und c = -3

u = -(-2) / (2 * 1) = 1

v = (4 * 1 * -3 - (-2) ^ 2) / (4 * 1) = -4

y = f(x) = x ^ 2 - 2 * x - 3 = 1 * (x - 1) ^ 2 - 4 = (x - 1) ^ 2 - 4

Scheitelpunkt (1 | -4)

Antwort
von Marcel9619, 39

Die Casio Taschenrechner können sowas ganz leicht ausrechnen und kosten nicht viel. Glaub man darf die sogar immer und bei jeder Prüfung benutzten

Antwort
von Manuel129, 29

aah der gute alte scheitelpunkt.. najja also den bekommst du ganz leicht raus indem du die formel umstellst...

du hast die form y=ax^2+bx+c , in deinem fall y = x^2+2x-3 also a = 1, b = 2, c = -3

ich erspare dir jetzt al den langen rechenweg mit quadratischer ergänzung

jedenfalls bringst du es in die form a (x-m)^2 + n, wobei m = -b/2a und n = (4ac-b^2)/4a

dein gesuchter Scheitelpunkt ist dann S(m,n)

Kommentar von Manuel129 ,

andernfalls könntest du auch so vorgehen, dass du einfach die erste Ableitung bestimmst. da es eine Funktion positiven zweiten Grades ist, ist der Scheitelpunkt natürlich der Tiefpunkt

daher bestimmst du erst die erste Ableitung das ist f'(x)= 2x-2. dann überlegst du dir: die erste Ableitung gibt geometrisch gesehen die Steigung einer Kurve an. Am Scheitelpunkt ist die Steigung 0, daher setzt du 0=2x-2 und erhälst .. x=1

dann setzt du x wieder in die Orginalfunktion ein:

y=f(x)=x^2-2x-3 => f(1)=1-2-3= - 4

und du erhälst.. S(1/-4)

Kommentar von Manuel129 ,

dabei ist natürlich noch zu bemerken, dass das nicht immer zum Ergebnis führt, da es noch Sattelpunkte gibt in höheren Funktionen. da diese allerdings hier garantiert nicht auftreten, müssen wir auch keine höheren ableitungen bilden.

Antwort
von Dovahkiin11, 34

Mit Hilfe der PQ-Formel? Vorausgesetzt, du bist noch nicht so weit, zu differenzieren,

Kommentar von Manuel129 ,

das mit der pq-formel wäre nur hilfreich wenn man weiß wie die funktion genau aussieht, ist das aber nicht der fall bringt einem die pq-formel doch recht wenig bei der bestimmung des scheitelpunktes.. sie will ja nicht die schnittpunkte mit der x-achse berechnen.

Kommentar von Dovahkiin11 ,

Hatte einen Denkfehler... Ich bin es gewöhnt, zu differenzieren und die NS zu bestimmen.

Kommentar von Manuel129 ,

jap in der schule normal..^^ man kriegt viele verfahren an die hand gelegt aber versteht meistens gar nicht was man da eigentlich macht =P

Kommentar von Dovahkiin11 ,

Du tue ich schon, nur hab ich die Verfahren aus der Mittelstufe schon wieder zum Teil vergessen. In der Oberstufe wurden meist andere und komplexere Verfahren angewendet. Deswegen bin ich die Berechnung des Scheitelpunkts ohne Differenzial gar nicht mehr gewöhnt... ^^

Kommentar von Manuel129 ,

naja ob differenzieren komplexer ist als quadratische ergänzung.. lass ich jetzt mal so dahin gestellt^^

Antwort
von 1ueberfragter1, 38

Willst du dir deine gesamten Hausaufgaben hier durchrechnen lassen?!

Kommentar von dreamkekzxd ,

Ja

Antwort
von Dogukann, 23

Mit der pq-Formel:

-p/2 +- √(p/2)²-q

->
-(-2/2) +- √(-2/2)²-(-3)
=> x1= 3 x2= -1

Gruß

Kommentar von Manuel129 ,

.. er/sie wollte den scheitelpunkt ..^^

Kommentar von Dogukann ,

Oh Mann. Danke dir! ;-)

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