Frage von 1011010,

Bildungsgesetz Polynominterpolation

Kann ich um das Bildungsgesetzt einer Folge/Reihe zu finden eine Polynominterpolation durchführen?

Ich bin mir nicht sicher da eine Reihe/Folge im natürlichen Zahlenbereich definiert ist und es bei der Polynominterpolation durchaus dazu kommen kann und wird das die Folgeglieder im reelen Zahlenbereich sind.

P.S. Ich benutze zur Zeit die Interpolationsformel von Lagrange. Allerdings habe ich es meistens mit vier Punkten mindestens zu tun, deshalb wollte ich nochmal Fragen ob jemand ein effektiveres Verfahren hinsichtlich aufwand kennt und mir einfach unten hinschreiben kann.

Hilfreichste Antwort von hypergerd,

Ich hatte bereits geantwortet, aber Du stellst jetzt schon zum 3. Mal Fragen zu diesem Thema???

Kann ich um das Bildungsgesetzt einer Folge/Reihe zu finden eine Polynominterpolation durchführen?

Ja, es ist eine von unendlich vielen Möglichkeiten bei gegebener Zahlenfolge einen Algorithmus (Bildungsgesetz) zu finden.
(unter "ich-suche-eine-funktion-die-fuer-die-zahlen-1-2-3-4-die-ergebnisse-1-5-7-10-ergibt" beweise ich das gerade hier bei GF mit zig Beispielen)

Zahlenfolgen (und somit auch die Argumente und Funktionswerte) können in jedem beliebigen Zahlenbereich definiert sein/werden -> das ist ja gerade das SCHÖNE und gefährliche an der Mathematik: man kann Theorien unabhängig von der Wirklichkeit aufstellen.

Wie Du an http://www.gerdlamprecht.de/Mittelwerte.html
siehst, kann man bei der gegebenen Genauigkeit (etwa 15 Nachkommastellen) von Anzahl n=2 bis etwa 10 arbeiten.

Hinschreiben: nein -> siehe Wikipedia und andere Seiten, auf denen der Algorithmus beschrieben wird.

Antwort von psychironiker,

A. Zwar gibt es zu 4 Punkte immer ein Polynom höchstens dritter Ordnung, dessen Einschränkung auf N eine Zahlenfolge explizit darstellt.

Aber das ist eben nur eine Möglichkeit, und es gibt unendlich viele Bildungsgesetze für Folgen, die diese vier Punkte enthalten. Um das einzusehen, brauchst du dir nur klarzumachen, dass du auch ein fünftes Folgenglied beliebig wählen könntest; das ergäbe dann jeweils ein Polynom höchtens vierter Ordnung.


B. Außerdem gibt es Folgen, die sich nicht durch noch so komplizierte Polynome nicht vollständig beschreiben lassen. Einfache Beispiele sind geometrische Folgen. - Auch lassen sich mit einer lineare Bedingung rekursiv definierte Folgen immer als Summe von Exponentialfunktionen beschreiben. obwohl es in vielen praktischen, mathematisch gesehen in fast allen Fällen keine Möglichkeit gibt, diese Exponentialfunktionen exakt zu berechnen, und es auch bewiesenermaßen nie eine solche Möglichkeit geben wird (Galois-Theorie).

Also ist in den Fällen von B. ein Interpolationspolynom ganz gundsätzlich keine Hilfe, um ein vorgegebenes Bildungsgesetz zu finden.


C. Du bekommst hier sicher konkretere "positive" Hilfe (und nicht nur "negative", was alles nicht geht), wenn du die genaue Formuierung der Aufgabenstellung nennst.

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