Frage von gf20109, 7

Bildbereich muss nicht offen sein beim offenem Intervall?

Hallo, ich verzweifel gerade an einer Aufgabe. Ich muss einen Beweis für folgende Aussage schreiben:

Wenn I = (a, b) ein offenes Intervall ist, muss der Bildbereich B = f (I) nicht offen sein.

Leider habe ich keine Idee wie ich es hier lösen könnte. Ich wäre für einen Gedankenstoß sehr Dankbar!

LG

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von rr1957, 5

f(x) = konstant reicht natürlich als Gegenbeispiel, aber wenn Du es interessanter machen und besser verstehen willst:

wenn Du irgendeine (stetige) Funktion nimmst (z.B. f(x)=x² ), die in dem Intervall einen Extremwert annimmt (hier 0 als Minimum für Intervalle die den Nullpunkt enthalten), dann wird dieser Extremwert das eine Ende des Bildbereichs, und zwar ein geschlossenes Ende:  für f(x)=x² und offenes Intervall (-a,a) ist der Bildbereich [0, a²) - also nicht ein offenes Intervall.

Mit zwei Extrempunkten kann man dann auch Beispiele konstruieren, wo ein an beiden Enden geschlossenes Bildintervall rauskommt ...

Antwort
von iokii, 7

f konstant zum Beispiel.

Kommentar von gf20109 ,

Also mit einem Gegenbeispiel? Zb f:(-pi,pi)|---> IR mit f(x)=sin(x). Dies ist surjektiv und wird auf ganz IR abgebildeeet. oder?

Kommentar von iokii ,

Sinus ist nicht surjektiv, und R ist offen.

Kommentar von Physikus137 ,

Sinus ist sehr wohl surjektiv (bezüglich seiner Bildmenge, wie jede Funktion). Für -π < x < π ist die Abbildung x → sin(x) sogar bijektiv.

f: (-π, π) → [-1, 1], x → sin(x) ist also durchaus ein Gegenbeispiel, wenngleich vielleicht gegenüber einer konstanten Abbildung ein unnötig kompliziertes.


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