Frage von odorina, 22

Bijektion bezüglich der ganzen Zahlen?

Ich hab folgende Frage zur Mathe. Wie zeige ich, dass die wohldefinierte Abbildung Z->Z n->-n  eine Bijektion ist? Vielen Dank schon mal im Voraus

Antwort
von odorina, 14

das meinte ich wohl damit. Ja ich weiß, ween die Abbildung bijketiv ist dann muss man halt zeigen, dass die Abbildung sowohl injektiv als auch surjektiv ist, aber ich weiß nicht genau wie ich es an so einem Beispiel machen muss.

Antwort
von kreisfoermig, 11

Eine Funktion ƒ : X → Y ist genau dann bijektiv, wenn

(∆)... ∀y∈Y. ∃!x∈X. ƒ(x)=y

Sei also y ∈ ℤ beliebig. Es gilt ƒ(x)=y ⟺ -x = y ⟺ x=-y. Also gilt (∆). Darum ist ƒ bijektiv.

Kommentar von kreisfoermig ,

Alternativ: sei g = ƒ. Dann gilt ƒ g = id = g ƒ. Also ist g das Links- und Rechtsinverse von ƒ. Darum ist ƒ bijektiv.

Alternativ: ƒ ist eine Involution, sprich ƒƒ = id. Darum ist ƒ bijektiv.

Antwort
von iokii, 22

Was meinst du mit  Z->Z n->-n?

Edit : Du zeigst das sie injektiv und surjektiv ist.

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