Beweisen Sie mit Hilfe von Vektoren, dass sich die vier Diagonalen eines ra ̈umlichen Parallelotops in einem Punkt schneiden?

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2 Antworten

Nehmen wir das hier mal als Grundlage: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/9/90/Parallelepiped2.svg

Zuerst benennen wir die 8 Eckpunkte der Einfachheit halber "von oben nach unten" A-H.

Die Diagonalen sollen sich in einem Mittelpunkt M schneiden. Vektoren für die Diagonalen aufstellen (Addition zu gegenüberliegenden Punkten, "gb" ist der Vektor von G nach B usw.):

gb = a+c+b; ed = a-c+b; ah = a-c-b; cf = a+c-b

Und jetzt stellen wir in unserer Hauptgleichung auf, wie man von den Eckpunkten über die Diagonalen zu M kommt:

M = G + 0.5*gb = E + 0.5*ed = A + 0.5*ah = C + 0.5*cf

Für gb, ed, ah und cf könnten wir schon was einsetzen, aber G,
E, A und C sind noch nicht definiert. Können wir aber alle "auf
einen Punkt bringen", zum Beispiel auf G (einfach weil der unten links
sitzt). Ablesen aus der Zeichnung ergibt:

E = G+c; A = G+b+c; C = G+b

Jetzt können wir alles einsetzen und die Hauptgleichung überprüfen.

Gruß, LDer

Für Fragen steh ich gern zur Verfügung :)

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Kommentar von mathe5
22.04.2016, 19:54

allgemein

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