Beweise mathematische Funktion?

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2 Antworten

Denke doch analytisch (oder synthetisch) und benutze doch die Mittel, über die du schon verfügst. Was fällt dir ein? Kritische Stelle ~~> notwendig, dass Ableitung=0. Verkettung von Funktionen ~~> Kettenregel.

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  • ƒ(·) extrem in einem Inneren Punkt, x0, des Bereichs ==> ƒ´(x0)=0 ==> v'(x0)·u'(v(x0))=0 ==> v'(x0)=0 oder u'(v(x0)) ==> nicht zwingend, dass v'(x0)=0, der Fall sein muss ==> nicht zwingend notwendig, dass v Extremstelle.

Gegenbsp. u(t)=cos(t), v(x)=x. Dann ƒ(x)=u(v(x))=u(x)=cos(x). Dann ist ƒ(·) kritisch gdw. u(·) kritisch ist (z. B. bei x=2n·π für ein n∈ℤ)… aber v(·) ist nirgends kritisch.

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  • v(·) extrem in einem Inneren Punkt, x0, des Bereichs ==> o. E. habe v(·) ein lokales Minimum in (x0,v(x0)). Dann existiert eine genügend kleine Umgebung U von x0 mit v(x)≥v(x0) für alle x∈U. Insbesondere gilt mithilfe des ZWSatzes angewandt auf die diffbare Fkt u(·)
  • u(v(x))–u(v(x0)) = (v(x)–v(x0)) · u'(t*) für ein t* zw. v(x0) und v(x), für alle x∈U; insbesondere, da v(x)≥v(x0) für alle x∈x0, und wegen Stetigkeit von v(·), reicht es aus zu zeigen, dass für eine genügend kleine Umgebung V von v(x0), dass entweder u´(t)≥0 für alle t∈V mit t≥v(x0) oder, dass u´(t)≤0 für alle t∈V mit t≥v(x0).
  • PROBLEM… das ist nicht garantiert. u'(·) könnte schnell schwanken ohne aufzuhören.

Gegenbsp. u(t)=t·sin(1/t), v(x)=x². Dann gilt: v(·) kritisch in der Stelle x0=0. Aber ist u(v(·)) verhält sich wie u|[0,∞) und, da v(x0)=0 keine kritische Stelle von u|[0,∞) ist, ist x0 keine kritische Stelle von ƒ(·)=u(v(·)).


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Setz für u und/oder v mal ein paar einfache Funktionen ein, z. B.

x -> 0

x -> a     (a konstant)

x -> x

x -> x²

dann solltest du Gegenbeispiele für alle Fälle finden, wozu es Gegenbeispiele gibt

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