Beweise in der Mengenlehre?

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2 Antworten

Hallo,

du könntest eine Fallunterscheidung machen:

a) A ∩ B = ∅, b) A ∩ B ≠ ∅

Da in der Aufgabe die "Betragsstriche" stehen, nehme ich an, dass es sich um endliche Mengen handelt?

( |X| = Anzahl der Elemente von X )

Gruss

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Kommentar von eddiefox
10.10.2016, 20:50

P.S. Noch ein Hinweis:

Im Fall a), seien a = |A| Elemente in A, b = |B| Elemente in B und im Durchschnitt kein Element. Wieviel Elemente sind dann in der Vereinigung von A und B ?

b) Sei m = |A \ (A ∩ B)|, n = |B \ (A ∩ B)| und k = |A ∩ B|

Was gilt dann? ;-)

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Beweise, dass |A∪B| + |A n B| = |A| + |B|.

Hinweis: beweis zuerst |C| = |CnD| + |C \\ D|. Mithilfe dessen finde Ausdrücke für |AuB|, |A|, |B| und vergleiche.

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Kommentar von kreisfoermig
13.10.2016, 19:01

Hier vollständig.

Lemma 1. |C| = |CnD| + |C \ D| für alle Mengen C, D.

Beweis. CnD und C\D sind disjunkt, deshalb gilt |(CnD) u (C\D)| = |CnD| + |C\D|. Andererseits gilt (CnD) u (C\D) = C (kannst das beweisen durch Betrachtung der Elemente links und rechts). Daher gilt die Behauptung. ⊣

Folgerung. |AuB|+|AnB| = |A| + |B| für alle Mengen A,B.

Beweis. Mittels Lemma 1 erhält man

|AuB| = |(AuB) n B| + |(AuB) \ B|
= |B| + |A\B|

|A| = |AnB| + |A\B|.

da (AuB) n B = B und (AuB) \ B = A \ B. Daraus ergibt sich

|AuB|+|AnB| = (|B| + |A\B|) + |AnB|
= |B| + (|A\B| + |AnB|)
= |B| + |A|
= |A| + |B|

wie zu zeigen war. ⊣

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