Frage von sesika10, 22

Beweis von (a+b)mod = (a mod m+ b mod m) modm?

Guten Abend. Die obige Gleichung muss ich beweisen habe jedoch grundsätzlich nicht den Schimmer, wie ich allgemein Beweise angehen soll. Als Anhaltspunkt habe ich für diesen Fall nur: 1. a mod m = ra und analog b mod m= rb 2. a = qam+ra und analog b = qbm+rb 3. a div m = qa und analog b div m = qb

Wie ich das Ganze zu beweisen habe weiß ich ehrlich gesagt nicht. Ich habe lediglich versucht, durch Einsetzen obiger Gleichungen was zu erreichen, aber vergebens. Vielleicht gibt es auch immer ein Schema bei Beweisen?

Ich bitte daher um Hilfe und um eine detaillierte Erklärung. Vielen Dank im voraus.

Antwort
von Roach5, 22

Wir nutzen den kleinsten Rest des euklidischen Algorithmus, dieser ist immer kongruent zur Ausgangszahl.

a = q(a)m + r(a),
b = q(b)m + r(b), wobei a = r(a) mod m, b = r(b) mod m.

Dann a mod m + b mod m = q(a)m + r(a) mod m + q(b) + r(b) mod m = m(q(a) + q(b)) + r(a) + r(b) mod m = r(a) + r(b) mod m = a + b mod m, alle Gleichheitszeichen stellen Kongruenz dar.

Wenn du weißt was eine Gruppe ist, vor allem eine Quotientengruppe, dann schreiben wir: [a] + [b] = [a + b] und sind fertig.

LG

Expertenantwort
von PWolff, Community-Experte für Mathe, 17

Nimm dir mal deinen Punkt 2 noch mal vor:

a = q_a * m + r_a; b = q_b * m + r_b

Damit bekommst du

(a + b) mod m = (q_a * m + r_a + q_b * m + r_b) mod m = ((q_a + q_b) * m + (r_a + r_b)) mod m

Diesen Ausdruck solltest du selbst vereinfachen können.

Kommentar von sesika10 ,

naja eben nicht^^

Kommentar von PWolff ,

Für jede ganze Zahl m ist (k * m) mod m = 0

Weiter ist (k * m + a) mod m = a mod m

Damit fällt beim letzten Ausdruck in der Klammer der Summand (q_a + q_b) * m weg.

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