Frage von Zkyllex, 47

Gibt es den Beweis für die Existenz eines Polynoms?

Hallo liebe Community! Ich beschäftige mich zur Zeit ein wenig mit Polynominterpolation und suche nach einem Beweis oder guten Gedankengang, dass ein Polynom für bestimmte vorgegebene Punkte immer existiert. Wenn man mal drüber nachdenkt ist das zwar ganz logisch, aber ich weiß nicht, wie ich dies verfassen kann? Danke im Vorraus!

Antwort
von LC2015, 22

Nehme an, wir hätten Stützstellen x1,...,xn und vorgegebene Funktionswerte f1,...,fn und wollen nun ein Polynom p vom Grad n finden, sodass p(xi)=fi für i=1,...,n.

Das Polynom p hat die allgemeine Form p(x)=a0+a1x+a2x^2 + ... + anx^n, wir wollen die ai bestimmen.

Jetzt haben wir mit obigen Forderungen also ein lineares Gleichungssystem mit n Gleichungen, nämlich

p(xi)=a0+a1xi+...+anxi^n = fi für i=1,...,n.

Man kann nun zeigen, dass dieses Gleichungssystem genau dann eine eindeutige Lösung besitzt, wenn die Stützstellen paarweise verschieden sind.

Dazu schreibt man das Gleichungssystem in Matrixform, bestimmt die Determinante der zugehörigen Matrix und schaut, wann diese ungleich Null ist. Die entstehende Matrix ist eine sogenannte Vandermonde-Matrix (s. https://de.wikipedia.org/wiki/Vandermonde-Matrix )

Kommentar von LC2015 ,

Hab mich oben vertan, es muss noch x0 und f0 geben und dementsprechend muss dann auch p(xi)=fi für i=0,...,n gelten, haben ja n+1 Unbekannte (a0 bis an).

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