Frage von 96dominik712, 32

Beweis einer Aussage zur Dimension?

Hallo, ich bräuchte nochmals Eure Hilfe. Meine Kommilitonin und ich sitzen seit mehreren Stunden an einer Beweisaufgabe und haben keine Idee. Generell können wir den Sinn der Aussage verstehen, aber kommen nicht auf eine Beweisidee.

Seien U, V, W endlich-dimensionale K-Vektorrärume und f: U -> V, g: V -> W lineare Abbildungen. Zeigen Sie, dass dim(Kern(g°f)) = dim(Kern(f)) + dim(Kern(g) schnitt Bild(f)).

Kann uns da bitte jemand bei helfen? Vielen Dank, Gruß Dominik

Antwort
von WeicheBirne, 6

Zunächst einmal kannst Du hier den Rangsatz anwenden

https://de.wikipedia.org/wiki/Rangsatz


Es gilt also

1) dim( U ) = dim( Bild( f ) ) + dim( Kern( f ) )

und

2) dim( U ) = dim( Bild( g°f ) ) + dim( Kern( g°f ) )


Gleichsetzen und umformen gibt

3 ) dim( Bild( f ) ) - dim( Bild( g°f ) ) + dim( Kern( f ) ) 

= dim( Kern( g°f ) )


Da Bild( f ) die lineare Abbildung des Vektorraumes U ist, ist Bild( f ) ein Untervektorraum und damit ebenfalls ein Vektorraum.

https://de.wikipedia.org/wiki/Lineare\_Abbildung#Bild\_und\_Kern


Darum können wir den Rangsatz hier noch einmal anwenden

4) dim( Bild( f ) ) 

= dim( Bild( g( Bild( f ) ) ) + dim( Kern( g( Bild(f) ) ) )


Wir sehen daß

Bild( g( Bild( f ) ) ) = Bild( g°f )

und

Kern( g( Bild(f) ) ) = Kern( g ) Schnitt Bild(f) 


also

5) dim( Bild( f ) ) 

= dim( Bild( g°f  ) ) + dim( Kern( g ) Schnitt Bild(f) )


Das setzen wir jetzt in 3) ein

6) dim( Bild( g°f  ) ) + dim( Kern( g ) Schnitt Bild(f) )

 - dim( Bild( g°f ) ) + dim( Kern( f ) ) 

= dim( Kern( g°f ) )


qed

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