Frage von lsims, 58

Beweis durch Widerspruch (indirekter Beweis)?

Kann mir einer bei der Aufgabe helfen?

Seien a,b,c irrationale Zahlen, d.h. es gelte a,b,c ∈R\Q.

Zeigen Sie: Mindestens eine der drei Zahlen a + b, b + c oder c + a ist irrational.

Erstmal kommt ja die Widerspruchsannahme. Hier würde ich sagen weder a+b noch b+c oder c+a sind irrational aber wie geht es weiter

Antwort
von PeterKremsner, 37

Ich würde die Annahme anders ansetzen:

Ich würde sagen a+b, b+c und c+a ist sind Rational, wenn wir dem Widersprechen folgt daraus, dass eine der Zahlen irrational ist.

Wenn diese Zahlen rational sind, muss auch die Summe von ihnen Rational sein (die Rationalen Zahlen sind bezüglich der Addition abgeschlossen) =>

a+b+b+c+c+a = 2*(a+b+c) ∈ Q

Jetzt sagen wir, a = wurzel(2), b = -wurzel(2), c = wurzel(3)

Dann steht da:

2*(wurzel(2)-wurzel(2)+wurzel(3)) = 2*wurzel(3) ∈ Q

2* wurzel(3) ist aber keine Rationale Zahl, also folgt daraus, dass eine der Zahlen: a+b,b+c,c+a irrational sein muss.

Natürlich musst du den beweis vermutlich allgemein erbringen, aber da weis ich auch nicht ganz wie das geht, aber ich hoffe ich konnte dir damit mal auf die Sprünge helfen.

Jedenfalls wirst du in dem Fall egal welche irrationale Zahl c auch ist eine irrationale Summe bekommen, also du kannst in dem Beispiel c frei wählen.

Es ist im Prinzip auch egal welche Zahl du für a und b nimmst, der "Worst Case" ist sozusagen, dass sich zwei irrationale Zahlen auf eine Rationale ergänzen.

Kommentar von lsims ,

Dankeschön.

Aber wie kommt man auf :

Jetzt sagen wir, a = wurzel(2), b = -wurzel(2), c = wurzel(3) ?

Kommentar von PeterKremsner ,

Gar nicht, das ist nur ein Beispiel.

Das ist sozusagen der Worst Case in dem sich zwei irrationale Zahlen auf eine Rationale ergänzen.

Du musst eben irgendwie noch zeigen, dass die Summe 3er Irrationaler Zahlen, immer Irrational ist, das ist der Knackpunkt an dem Beweis.

Kommentar von PeterKremsner ,

Ok ich sehe gerade an meiner Beweisführung stimmt etwas nicht:

Wenn ich die Annahme treffe dass a+b irrational ist und c = -(a+b) dann ergibt die Rechung 2*(a+b+c) = 0 und es ist somit eine Rationale Zahl, obwohl a+b irrational ist.

Kommentar von Freezo ,

An der Beweisführung stimmt ziemlich viel nicht...
sqrt(2), -sqrt(2), sqrt(3) und 2*sqrt(3) sind alles rationale Zahlen.

Kommentar von PeterKremsner ,

Wurzel(2) ist mit Sicherheit keine Rationale Zahl, eine Reele Zahl ja aber nicht Rational.

Du kannst für a auch pi und für b auch -pi nehmen...

Btw wenn du alle Fehler bei der Beweisführung kennst, dann schreib doch bitte eine eigene Antwort mit der du dem Fragesteller hilfst.

Kommentar von Freezo ,

Oh je tut mir leid ich hab mit reelen und irreelen Zahlen gerechnet (und übrigens auch eine Antwort mit dem passenden Beweis geschrieben).

Du darfst dir jetzt aussuchen ob ich zu schlau oder zu blöd bin :D

Kommentar von PeterKremsner ,

Kein Problem ich verwechsle die Zahlen auch öfters, weil der Name so ähnlich klingt ;)

Antwort
von Maimaier, 22

rational = Bruch

Annahme: a+b, b+c und c+a sind rational (ein Bruch)

Damit ist auch (a+b)+(b+c)+(c+a) ein Bruch, da die Summe von Brüchen wieder ein Bruch ist (auf Hauptnenner bringen usw.)


(a+b)+(b+c)+(c+a) = 2 * (a+b+c)

Damit ist auch a+b+c ein Bruch (da 2*(a+b+c) ein Bruch ist)

Wenn (a+b) und (a+b+c) ein Bruch ist, ist auch die Differenz (a+b+c) .- (a+b) = c ein Bruch

Widerspruch => Annahme falsch

Kommentar von PeterKremsner ,

Das war das kleine etwas was mir bei meiner Antwort gefehlt hat :)

Antwort
von Freezo, 22

Mein Ansatz wäre folgender, du sollst überprüfen ob a+b, b+c und a+c rationale Zahlen sind, (a+b)², (b+c)² und (a+c)² müssen also alle positive Zahlen ergeben.

Binomische Formeln sollten klar sein: a² + 2ab + b²
und da setzten wir jetzt 2 beliebige irrationale Zahlen ein, i*j für a, i*k für b und i*l für c:

(i*j)² + 2*(i*j)*(i*k) + (i*k)² -> Def. irr. Zahl: i²=-1

- j² - 2*j*k - k² -> j und k sind rationale Zahlen

Jetzt musst du nur noch beweisen, dass bei min. 1 dieser Gleichungen eine negative Zahl rauskommt.
Also wieder die gegenteilige Annahme, das Ergebnis wird immer positiv, das geht nur wenn der Term in der Mitte positiv wird:

- 2*j*k > 0
j*k < 0 -> entweder j<0 und k>0 oder umgekehrt

k*l < 0 -> da k>0 muss l<0 sein

j*l < 0 -> j und l beide < 0, das Produkte 2er negativer Zahlen ist aber immer positiv

Schlussfolgerung: Min. 1 der Terme in der Mitte ist eine negative Zahl und da - R² auch immer negativ ist, muss bei min. 1 der Aussagen (a+b)², (b+c)² oder (a+c)² eine negative Zahl rauskommen, daher ist min. 1 der Summen eine irrationale Zahl.

Kommentar von Freezo ,

Mein Fehler, ich bin gerade darauf hingewiesen worden, dass das der Beweis für ireele und nicht für irrationale Zahlen ist.

Die Antwort hilft dir leider nicht groß weiter, schreibs dir aber vielleicht mal irgendwo auf das brauchst du vermutlich im Abi noch :D

Kommentar von lsims ,

Dankeschön trotzdem.

Ich brauch alles für das Informatikstudium :)

Antwort
von iokii, 10

Zieh sie mal voneinander ab : Wenn a+b und b+c rational sind, dann sind auch (a+b)-(b+c)=a-c rational, daraus kannst du dann folgern, dass c rational ist, was ja ein widerspruch ist.

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