Frage von CleverHero, 157

Beweis, dass eine Zahl keine Primzahl ist?

Konkret geht es hier um die Zahl 101010... 10101 . Insgesamt sind das 2016 nullen und 2017 einsen. Wie kann ich beweisen, dass das keine Primzahl ist??

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von Schachpapa, 122

Das ist die erste aufgabe aus dem aktuellen Bundeswettbewerb mathematik. Die sollst du alleine lösen (oder als Gruppe, aber dann musst du die Gruppenmitglieder angeben).

Tipp: die Zahl lässt sich durch 80681 teilen. Aber du musst ohne technische Hilfsmittel beweisen, dass es keine Primzahl ist

Antwort
von Schachpapa, 33

Falls du noch interessiert bist, der Einsendeschluss war ja schon:

Wenn man die Zahl N mit 99 malnimmt, erhält man 999....99 mit 4034 Stellen.

Das ist 10^4034-1 . das kann nach der 3.binomischen Formel zerlegen in (10^2017+1)*(10^2017-1)

Der erste Faktor F1 (2018 Stellen) ist glatt durch 11 teilbar, es ist 99 99 99 .... 99 0 +11 also (9 09 09 ... 09*11*10)+11. (Man kann hier auch mit der alternierenden Quersumme argumentieren)

Der zweite Faktor F2 ist durch 9 teilbar, denn er besteht nur aus 2017 Neunen.

N•99 = F1 • F2 

N= F1/11 • F2/9

Also ist N zerlegbar. Welche Zahlen das sind ist nicht so wichtig. Es reicht zu zeigen, dass es sie gibt.

Kommentar von CleverHero ,

Klar bin ich noch interessiert...Danke

Expertenantwort
von MeRoXas, Community-Experte für Mathematik, 98

Indem man den bundesweiten Mathematikwettbewerb selbstständig bearbeitet.

Antwort
von CleverHero, 82

Ich weiß, dass das die Aufgabe aus dem Wettbewerb ist, aber ich will das gar nicht einsenden. Unser Mathe-Lehrer hat uns das als Aufgabe gestellt, und ich hab keine Ahnung, wie ich das lösen soll. Die Erleuchtung ist mir bis jetzt nicht gekommen...

Kommentar von Schachpapa ,

Der Weg ist das Ziel. Die meisten Schüler haben keine Ahnung wie sie das lösen sollen. Deshalb sollen sie sich ja Gedanken darüber machen und vielleicht macht es irgendwann Klick!.

Bundeswettbewerbe sind dazu da, besondere Talente zu erkennen und ggf. frühzeitig zu fördern.

Ansonsten warte einfach den Einsendeschluss ab, die Lösungen werden meist kurz danach veröffentlicht.

Kommentar von Schachpapa ,

Vielleicht noch ein Hinweis (sie stand unter dem Kommentar von UlrichNagel, der anscheinend entfernt wurde):

Bei dieser und ähnlichen Aufgaben geht es darum, dass du dir eigene, überschaubare Beispiele machst, Gesetzmäßigkeiten erkennst und daraus durch logische Schlussfolgerung beweist, dass die Zahl nicht prim ist. Dass hier 2016 Nullen drin sind, liegt wohl an der Jahreszahl, mit 4 Nullen könnte man ja leicht schriftlich nachrechnen.

Wenn es klick! gemacht hat, merkst du selbst, dass deine Lösung richtig ist. Das unterscheidet solche Aufgaben von den üblichen Schul(rechen)aufgaben. Und dann erst ist Mathe schön.

Ich persönlich empfinde diese erste der 4 Aufgaben als die einfachste, gefolgt von 4, dann 2, bei 3 habe ich noch keinen Ansatz (habe mich aber auch nicht mehr damit auseinander gesetzt). Ich bin aber wohl auch schon etwas länger im Geschäft und nicht mehr teilnahmeberechtigt. Ich habe 1980 und 1981 mitgemacht ;-)

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