Bewegungsenergie zu Beschleunigung?

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5 Antworten

Ja, der Zuwachs eines Körpers an kinetischer Energie durch weitere Beschleunigung wächst mit wachsender Ausgangsgeschwindigkeit, und zwar nicht erst, wenn der Newton'sche Grenzfall verlassen wird.

Bleiben wir der Einfachheit halber im Newton - Limes. Bei einer linearen Beschleunigung

a = v̇ = ẍ

aus dem Stand am Ursprung, d.h.

v(t=0)=0, x(t=0)=0)

ist der differentielle Zuwachs an spezifischer kinetischer Energie

dE/m = F·dx/m = a·dx,

und konstantes a bedeutet v=at und x=½at². Daraus folgt eben auch

E/m = a·x = ½a²t² = ½v².

Der Weg, entlang dessen der Körper (etwa der Ball) beschleunigt wurde, ist länger.

In der Tat überträgt ein doppelt so schneller Ball das Vierfache an Energie, wenn er mit einem Hindernis kollidiert.

Dies erschien mir einmal kurzzeitig als Widerspruch zum Relativitätsprinzip, da doch die Ausgangsgeschwindigkeit vom verwendeten Bezugssystem abhängt. Mein Denkfehler war dabei allerdings, dass ich nicht berücksichtigt habe, das ohnehin mehr Energie freigesetzt werden muss und das jenige, was den Körper so beschleunigt hat, einen Teil dieser Energie erhält.

Wird ein Körper nach dem Rückstoßprinzip beschleunigt, dann erhält zunächst das Treibmittel praktisch die gesamte Energie.

Ist hingegen der Körper inzwischen so schnell wie das austretende Treibmittel, so bedeutet dies dass dem Treibmittel sogar Energie entzogen wurde, es wurde ja abgebremst. Der Energieaufwand unterscheidet sich also nicht.

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Kommentar von Usedefault
23.09.2016, 20:20

Irgendwie erinnert mich das Verhältnis an die Leistung, welche mit der Spannung vervierfacht wird.

Gilt F=m*a also nur, wenn ein Objekt ruht und exakt mit a beschleunigt? Kann man die Formel auf F=(m*E)*a erweitern um daraus eine sinnvolle Funktion zu bilden? Gibt es vielleicht sogar eine bessere, allgemeinere Formel als F=m*a? Ich halte F=m*a irgendwie für nicht aussagekräftig, wenn sich dann pausenlos m verändert.

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Kommentar von SlowPhil
23.09.2016, 21:54

Also, F = (m·E)·a ist schon mal komplett falsch und wäre es auch dann, wenn wir nicht im Newton - Limes wären. Außerhalb dieses Limes stimmt auch

Eₖ ≈ ½mv² = ½p²/m

nicht mehr, da gilt

Eₖ = (γ –1)mc² = √{mc² + cp}.

Die Formel

|F› = m·|a›

gilt nicht nur für Beschleunigung aus dem Stand, sondern für jeden Körper, für den sich ein festes m angeben lässt, außerhalb des Newton - Limes freilich nur noch für Viererkraft und Viererbeschleunigung:

|F» = m·|a»,

was hier

(P/c; |F›) = (d/dτ)(mγ(c; |v›))

bedeutet (P ist die Leistung). Auf Raketen lässt sich die Formel aber so oder so schlecht anwenden (das gilt auch für den Newton - Limes), weil ein Teil der Masse, der erst mitbeschleunigt wird, anschließend in Gegenrichtung beschleunigt wird und zum Schub beiträgt.

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Kommentar von SlowPhil
23.09.2016, 21:55

Mit E in der Antwort selbst meine ich natürlich E࠰.

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Kommentar von SlowPhil
23.09.2016, 22:07

Auf Autos z.B. ist |F› = m|a› gut anwendbar, da sich Autos gewissermaßen von der 6×10²⁴kg schweren Erde abstößt. Auch die quadratische Beziehung zwischen kinetischer Energie und Geschwindigkeitsbetrag kommt direkt zum Tragen, nämlich beim Bremsweg.

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Zu 1.) Wenn die Beschleunigung gleichförmig ist, ist die auf einen Körper wirkende Kraft aus dem Ruhezustand heraus (wenn man eine evt. vorhandene Haftreibung außer Acht lässt) so groß, wie wenn sich der Körper in Bewegung befindet. Nur wenn die Beschleunigung über dem Weg stetig ansteigt, wird auch die Kraft stetig größer.

Zu 2.) Der Ball hat dann die doppelte Energie (nicht mehr als doppelt so viel).

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Kommentar von YStoll
23.09.2016, 19:09

2.) Falsch, er hat die vierfache Energie.
Die kinetische Energie berechnet sich über E = 1/2 * m * v²

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1.) Durch die Bewegung wird die Masse größer.
m ist also von der Geschwindigkeit abhängig.
Größere Geschwindigkeit => größere Masse => größere Kraft für gleiche Beschleunigung notwendig.

2.) Ja, er hat die vierfache Energie. Die kinetische Energie berechnet sich über E = 1/2 * m * v²

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Kommentar von Usedefault
23.09.2016, 19:15

1.) Habe ich mir früher auch gedacht, aber eigentlich müsste die Formel ja lauten: 

F = (m*E)*a; da ja die Bewegungsenergie die relativistische Masse ersetzen soll.

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Kommentar von SlowPhil
25.09.2016, 21:16

Abgesehen, dass man die Trägheit der kinetischen Energie schon lange nicht mehr der Masse des Körpers zurechnet, widersprechen 1.) und 2.) einander.

Eₖ₁ = ½·m₀·v²

gilt nur im Newton-Limes. Gerade wenn man von Massenveränderlichkeit redet, liegt ja dies daran, dass auch die kinetische Energie ihre eigene Masse

m₁ = m₀v²/2c²

hat, die wieder eine kinetische Energie

Eₖ₂ = ½·m₁·v²

mit der Masse

m₂ = m₁v²/2c² = m₀(v²/2c²)²

u.s.w., sodass eine geometrische Reihe in v²/2c²

m_[impuls] = m₀·∑_[k=0]^{∞} (v²/2c²)^k = m₀/(1– v²/2c²),

wobei das noch immer nicht ganz stimmt.

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zu Frage 2 : ja, ich hab das noch im Quadrat in Erinnerung.


Verdopplung, der Geschwindigkeit = Vervierfachung der Energie.

müsste ja eigentlich auch *die* Formel


e=mc², leicht angepasst hinkommen  :)




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F=m*a ist unzureichend.

Die moderne Physik beschreibt die Kraft als die Änderung des Impulses.

->

F = dp/dt

p=m*v

->

F = m*dv/dt +dm/dt*v

Demnach ist die Kraft also nicht nur von der Änderung der Geschwindigkeit also der Beschleunigung, sondern auch von der Änderung der Masse abhängig.

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Kommentar von Usedefault
24.09.2016, 06:43

Genau so etwas wollte ich hören!

Wie berechnet man mit der neuen Formel die Geschwindigkeit von 1kg Masse, welche 10s mit 10N beschleunigt wurde?

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Kommentar von SlowPhil
25.09.2016, 00:32

Die moderne Physik beschreibt die Kraft als die Änderung des Impulses.

Kraft »war immer schon« die Änderung des Impulses, oder, da der Begriff der Kraft älter ist, kann man auch den Impuls als diejenige Größe auffassen, deren zeitliche Änderung die Kraft ist.

p=m*v

Das gilt im Newton-Limes - oder, wenn man nicht m als Lorentz-Skalar, nämlich die Eigenmasse auffasst, sondern letztere m₀ und m als m₀γ, auch außerhalb, muss dann aber eigentlich m_[t] heißen, wie wir sehen werden, denn es ist nur die Quermasse.

Nach

F = m*dv/dt +dm/dt*v

ist nämlich wegen

dm/dt = m₀·dγ/dt = m₀·(d/dt)(1 – β²)^{–½}

          = m₀(–½)(1 – β²)^{–³/₂}·(–2β)·dβ/dt = m₀·γ³β·dβ/dt

die Kraft bei Längsbeschleunigung

F = m₀·c·dβ/dt·γ(1 + γ²β²) = m₀·c·dβ/dt·γ³

und damit die Längsmasse nicht »m=m₀γ«, sondern m₀γ³.

Damit wird die träge Masse zum Tensor.

Die Vorgehensweise ist unbefriedigend, nach dem Motto: »Warum einfach, wenn's auch kompliziert geht?«

In

p = m₀γv

schlägt man das γ heute nicht mehr der Masse, sondern der Geschwindigkeit zu, denn es ist

γv = γ·dx/dt = dt/dτ·dx/dt = dx/dτ,

d.h. an Stelle der Geschwindigkeit als Koordinatenänderung pro Koordinatenzeit (also der Ableitung der meisten Koordinaten nach der verbliebenen Koordinaten) tritt die Eigenzeit-bezogene Geschwindigkeit, die übrigens beliebig groß sein kann.

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