Frage von vivien2711, 30

Betragsungleichung |x-2|<2x+3?

Ich habe berechnet

  1. Fall x-2 < 0 bedeutet -(x-2)<2x+3 umgewandelt zu 3x<-1

2.Fall x-2>0 bedeutet x-2<2x+3 umgewandelt zu x<-5

Stimmt der Anfang und wie geht es weiter??

Antwort
von gfntom, 16

Du hast die < > Zeichen vertauscht.

1. Fall: x-2 < 0 das bedeutet zugleich: Bedingung: x<2 nur dann ist x-2<0

In dem Fall ist |x-2| = 2-x
also:
2-x < 2x +3       |+x
2 < 3x +3          |-3
-1<3x                |:3
-1/3<x

Für Fall 1 gilt also: -1/3<x<2

Expertenantwort
von Ellejolka, Community-Experte für Mathematik, 6

1. Fall

x-2>0 →x>2

und

x-2<2x+3 → -5<x

x>2 und x>-5 ergibt L1 = x>2

-----------------------------------------------------------------

2. Fall

x-2<0 → x<2

und

-x+2<2x+3 → x> -1/3

x<2 und x> -1/3 ergibt L2 = -1/3 < x < 2

-------------------------------------------------------------------

jetzt L1 vereinigt L2 ergibt die Lösung

x > -1/3

Antwort
von Physikus137, 14

Soweit richtig. Nur ein kleiner Schritt fehlt jetzt noch 🙂

In 1 bist du mit x < 2 gestartet, und hast herausbekommen, dass sogar x < - 1/3 sein muss, damit die Ungleichung erfüllt ist.

In zwei bist du mit x > 2 gestartet und hast herausbekommen, dass x < -5 sein soll, im Widerspruch zur Annahme.

Also ist die Ungleichung nur für x < -1/3 erfüllt.

Kommentar von Physikus137 ,

Ups. gfntom hat recht. aus 1 folgt -1/3 < x < 2, aus zwei -5 < x , beide Bedingungen sind folglich erfüllt für x > -1/3 

Kommentar von gfntom ,

Aus dem 2. Fall folgt zwar x > -5 , Bedingung für diesen Fall ist aber x>=2.
Damit folgt aus dem 2. Fall "in Summe": x>=2 (dies erfüllt beide Bedingungen x>=2 und x>-5).
(Ich gehe davon aus, dass du dies auch so meintest, ich wollte es nur nochmals klar formulieren).

In Summe ist die Lösung natürlich x>-1/3

Antwort
von DerNerdigeBert, 21

x<-1 glaub ich kommt raus.  der betrag ist ja immer positiv.... also wird aus x-2    x+2

Kommentar von DerNerdigeBert ,

|x-2| < 2x+3

x+2 < 2x+3       ..... -3

x-1 < 2x              ......-x

-1 < x

Kommentar von gfntom ,

Nein, nicht wirklich!

Aus |x-2|  wird x-2 für x >= 2
und 2-x für x<2.

|x-2| = x+2 stimmt nur für x=0

Kommentar von DerNerdigeBert ,

is bei mir schon lange her.... hab schon wieder alles vergessen

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