Frage von LoKo13, 12

Betragsgleichung/Betragsfunktion?

s=x*|x|-2x Bestimmen aller reellen Zahlen s, für die die Gleichung GENAU 2 verschiedene Lösungen für x hat. Ich habe den Graphen und die 2 Gleichungen dazu aufgeschrieben. Weiter komm ich leider nicht ...

Expertenantwort
von Willibergi, Community-Experte für Mathematik, 8

Wenn du dir den Graphen der Funktion skizzierst, erkennst du, dass er in etwa dem einer ganzrationalen Funktion dritten Grades der Form g(x) = ax³ - cx ähnelt.

Zwei Extrempunkte, drei Nullstellen.

Sieh die beiden Seiten der Gleichung einfach als zwei Funktionen:

s = x|x| - 2x

f(x) = s
g(x) = x|x| - 2x

f ist einfach ein horizontaler Graph einer linearen Funktion, also eine waagrechte Gerade.

Wo haben f und g jetzt genau zwei Schnittpunkte. Ziehe dazu noch mal den Graph von g in Betracht.

Wenn du ein wenig überlegst, wirst du darauf kommen, dass das der Fall ist, wenn die horizontale Gerade einen der Wendepunkte schneidet.

Also gilt, dass s der y-Wert der Wendepunkte ist, also die Extremwerte.

Berechnen wir dazu erst Mal die Extremstellen:

g(x) = x|x| - 2x
g'(x) = x*sgn(x) + |x| - 2

g'(x) = 0:

x*sgn(x) + |x| - 2 = 0 ⇔ x = -1 ∨ x = 1

Nun müssen wir noch den Funktionswert der beiden Extremstellen berechnen:

g(-1) = -1*|-1| - 2*(-1) = -1 + 2 = 1
g(1) = 1*|1| - 2*1 = 1 - 2 = -1

Also gilt: s = -1 ∨ s = 1

Für s = -1 ∨ s = 1 hat die Gleichung s = x|x| - 2x somit genau zwei Lösungen.

Ich hoffe, ich konnte dir helfen; wenn du noch Fragen hast, nur her damit! :) 

LG Willibergi

Expertenantwort
von PWolff, Community-Experte für Mathematik, 12

Leg ein Lineal parallel zur  x-Ache auf die Skizze und schieb es nach oben/unten.

Du findest Stellen, wo das Lineal den Graphen in einem einzigen Punkt schneidet / berührt, solche, wo es ihn in zwei Punkten schneidet / berührt und solche, wo es drei Punkte sind.

Welche Bereiche sind das jeweils? Gibt es bei einer Art dieser Punkte eine Besonderheit?

Antwort
von kreisfoermig, 9

Diese Frage wurde schon 2 Mal im Oktober gestellt!! Siehe z. B. hier

https://www.gutefrage.net/frage/hilfe-mit-der-gleichung-sxx-2x?foundIn=list-answ...

Es existiert es exakt 2 Lösungen über ℂ gdw. |s|=1. Und es gibt exakt 2 Lösungen über ℝ gdw. s ∈ {±1}.

Kommentar von kreisfoermig ,

Interaktive graphische Lösung auf https://www.geogebra.org/m/ZDFrnhkC verfügbar.

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