Frage von Semixi, 44

Betrags gleichung wann nimm ich welche bedingung?

Also ich habe eine Betragsgleichung zu lösen, die folgendermaßen aussieht

| x-3 | ----------- < 1 |2x+4|

Ich weiß das X > bzw. < - 2 sein soll

Ich habe nun einmal mit dem positiven Betrag gerechnet und hab für x<-7 rausbekommen und als zweite Bedingung hab ich gesagt x>-2 sein Dann wär die Lösung hier ja leer oder? Und im zweiten Fall dann den negativen Betrag das X berechne kommt raus: x>-1/3 mit der zweitbedingung x<-2 ich Lösung ( - 1/3 ; - 2) Das stimmt nicht! Die Lösung sollte sein (-Unendlich;-7) u (-1/3;+unendlich)

Wenn ich aber nun diese zweit Bedingung genau umgekehrt annehmen dann stimmt es!

Aber wann weiß ich was ich zuerst sage? Größer oder kleiner - 2 zu welchem Betrag?

Gibt des da allgemein einen Trick?

Ich danke schon mal allen Antworten und antwortern !

Hoffe ihr versteht was ich meine!

Liebe grüße! Semi

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von Volens, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 20

Der Trick beim Absolutbetrag (zumal bei Summen) ist leider keiner und besteht darin, dass man in mühsamer Kleinarbeit mit solchen Fallunterscheidungen klarkommen muss:

| x + 1 | =     x + 1  für  x + 1 ≥ 0          (x ≥ -1)     bzw.
             =  - (x + 1) für  x + 1 < 0         (x < -1)

Kommentar von Semixi ,

Und woher weiß ich jetz wann ich mit größer gleich bzw mit kleiner rechne? Ich weiß nicht ob jetz zum Beispiel bei meimer Rechnung... Den positiven Betrag mit größer - 2 oda mit kleiner - 2 rechne? Oda doch den negativen Betrag mit kleiner als - 2 Oda größer - 2? Das ist mein Problem...

Kommentar von Volens ,

Das ist das Komplizierte an Ungleichungen. Die Fallunterscheidung gilt auch dann, wenn ein Term zunächst noch nicht mit Zahlen belegt ist, stimmt aber natürlich auch, wenn man einfache Zahlen betrachtet, für die man den Absolutbetrag durch Rechnen herausbekommt.

Wenn du z.B. -2 nimmst, dann ist x < -1. Nach der Regel folgte dann, dass |x+1| = -(x+1) sein müsste, also = -(-1)=1.  
Mal sehen: |-2+1| = |-1| = 1. Stimmt also.

Nehmen wir x = 0:  0 > -1.  Also gilt nach Regel (0+1) = 0 + 1 = 1 .
Mal sehen: |0 + 1| = |1| = 1. Stimmt auch.

Durch die Anfangsberechnung rechnest du die Ungleichheitsbeziehung für x um und kannst daher für den ganzen Term vorher sagen, was der absolut  ergibt. Bei längeren Termen ist das durchaus von Interesse, vor allem weil du dann auch das Verhalten von Funktionen über ein größeres Intervall voraussagen kannst.

Das ist so ähnlich wie beim Definitionsbereich. Wenn du einen Nenner
(x - 7) hast und deshalb weißt, dass bei +7 eine Unstetigkeitsstelle ist, guckst du dir nicht jedesmal den ganzen Nenner wieder an, sondern achtest nur noch darauf, dass x ≠ 7 ist.

Kommentar von Semixi ,

Also im endeffekt gibt es keine Regel sondern man muss einfach raten wann welche beide Bedingungen erfüllt sein müssen Ob Bedingung A mit Bedingung B erfüllt werden müssen? Oder ob Bedingung A mit Bedingung C erfüllt werden müssen? Oder ob Bedingung B mit Bedingung C erfüllt werden müssen? Tut mir leid das ich so begriffstützig bin aber vasteh das nicht so ganz! Dachte Mathe ist keine Mathemagie...

Kommentar von Volens ,

Ist es auch nicht, aber gerade bei Ungleichungen, von denen es im Gegensatz zu Gleichungen ja viele gibt (<  ≤  ≥  >) sehr unübersichtlich. Arithmantik (siehe Hermines Interessen bei "Harry Potter") ist es wirklich nicht, aber trotzdem kompliziert. Man ist immer froh, wenn sich ein Intervall auf  (-∞ ... -2) oder so beschränkt und nicht mehrere Intervalle vorkommen.

Für Klassenarbeiten wünsche ich dir, dass es nur so etwas geben wird wie x ≠ 5 (dann hätte man schon eine Hyperbel).

Aber wie gesagt, nach der Berechnung hast du immer eine Vorschrift zum Ein- bzw. Ausschluss von einem x (nicht mehr für einen Term). Und das kann man ja notfalls noch anwenden.

Kommentar von Semixi ,

ok danke danke vielen Dank!

Werd ich dann gleich mal nachgooglen was ich zu Hermines Interessen so finde!

Ja Klausur ist eh am Dienstag dann hoffe ich auch mal, dass nur so etwas kommt!
Ich hoffe nur ich verdreh nichts weil dieses Thema habe ich noch nie so ganz verstanden!

Danke nochmals das du es mir so gut erklärt hast!

Liebe Grüße

Semi!

Antwort
von Semixi, 33

Die gleichung lautet...

Betrag von ( (x-3)/(2x+4) )<1

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