Frage von AnonyJS, 33

Bestimmtes Integral (Flächenberechnung) Herleitung, wieso F(b)-F(a) und warum funktioniert das?

Ich möchte unbedingt wissen weshalb das funktioniert. Ich habe bereits im Internet gesucht aber bin nicht fündig geworden. Das bestimmte Integral soll ja die Fläche unter den Graphen sein zwischen a und b. Wie folgt ist ja die Definition: int von a bis b f(x) dx= F(b)-F(a)=A

Aber weshalb kommt dann exakt die Fläche heraus?

Nimmt man an man hat eine Funktion und markiert sich jetzt ein Intervall und unterteilt diese Fläche die man betrachtet in Rechtecke. Das gleiche nochmal, jedoch dann leicht über den Graphen. Würde man jeweils die Rechtecke zusammenrechnen und die obere von den unteren subtrahieren hätte man doch eine Differenz. Es folgt das wenn man in unendlich unterteilen würde, die Differenz 0 wäre und die Fläche dann korrekt bestimmt wäre. Aber man kann ja da nicht mit unendlich rechnen. Man könnte die jeweiligen Rechtecke zusammen addiert mit dem Summenzeichnen definieren. Aber ich komme dann nicht mehr weiter, klar man muss dann die Aufteilungen gegen Limes laufen lassen, aber dann hat man doch nicht die exakte Fläche?

Wie kommt man von da dann auf F(b)-F(a)??

Ich würde mich über hilfreiche Erklärungen freuen, danke.

MfG

Antwort
von schizophrenic23, 24

Hmm, also ich habe jetzt eine Weile versucht nachzuvollziehen, was du meinst, und bin zu dem Schluss gekommen, dass du eine falsche Vorstellung von Integtration hast.

Was macht man bei einer Integration, bildhaft gesprochen? 

Zunächst unterteilt man die Fläche unter dem Graphen in kleine infinitessimal breite (genau dx breit) Rechtecke (Streifen) berechnet die Fläche der Streifen und Summiert auf.

Praktischer Weise geht diese Summe für sehr kleine dx (also unendlich schmale Streifen) in ein Integral über (das wird in der Vorlesung bewiesen, oder in der Schule einfach so vorausgesetzt), welches man als Stammfunktion ausdrücken kann. Die Begrenzung (also der Anfangs/Endpunkt) der Aufsummierung wird eben durch die Differenz realisiert

 Man sagt also, ich summiere alle Streifen bis zum Punkt a auf (F(a)) und alle Streifen bis zum Punkt b (F(b)). Dadurch umgehe ich die Unendlichkeit der Aufsummierung und kann dem Intervall [a,b] eine genaue Fläche unter der Funktion zuordnen. F(a) und F(b) sind halt schon selbst (un-)endlich große Flächen, welche voneinander subtrahiert eine endliche Fläche ergeben.

Ich hoffe das hat dir jetzt irgendwie weitergeholfen, wenn du noch Fragen hast, schieß los!

Kommentar von AnonyJS ,

Jetzt verstehe ich es, vielen Dank. Ich bringe mir Integration selbst bei (Bücher, Internet) und dadurch ecke ich mal an und verstehe etwas nicht sofort.

Kommentar von schizophrenic23 ,

Huch, wieso denn das?

Ich empfehle youtube (Kanal von Jörn Loviscach)! Und das Buch Mathematik von Thilo Arens. Dort nach den entsprechenden Kapiteln/Videos suchen. Das ist 1. Semester Mathe, matheaffine Leute (ich denke dazu zählst du, wenn du sowas allein durchziehst) sollten das einfach verstehen!

Kommentar von AnonyJS ,

Ich interessiere mich für Mathematik.

Danke, werde ich mir direkt ansehen.

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